ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Lemniscate de Bernoulli    
 
lemniscate en tant qu'inverse de l'hyperbole , lemniscate en tant que podaire de l'hyperbole

Jakob Bernoulli fut amené à définir, comme le fit indépendamment Newton, la notion de coordonnées polaires avec l'introduction de sa lemniscate (du grec lemniskos = ruban) :

Soit F'(-a,o) et F(a,o), la lemniscate est l'ensemble des points M du plan tels que MF MF' = a2. Ci-dessous a = 1 :


F'(-1,o) et F(1,o), ensemble des points M du plan tels que MF x MF' = 1.

En coordonnées polaires, la lemniscate a pour équation : r2 = 2a2cos2t. La lemniscate ci-dessus (a = 1) est obtenue entièrement tout aussi bien par r = (2cos2t)1/2 que par r = -(2cos2t)1/2, t variant de 0 à 2π ou de - π à +π.

On peut réduire l'intervalle d'étude à [0,π] car cos(2t) = cos [2(t + π)] : symétrie par rapport à O. Mais cos(2t) = cos [2(π - t)] : symétrie par rapport à Oy : on peut alors limiter l'étude à [O,π/2] et même à [0,π/4] car r2 est positif et compléter la courbe par une symétrie par rapport à O puis par rapport à Oy.

Lemniscatographe sur YouTube :

Cette jolie courbe est un cas particulier d'ovale de Cassini. En développant MF2 MF'2 = a4, on obtient facilement son équation cartésienne :

(x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2)

Bernoulli exprima l'équation sous la forme :

En posant x = r.cos t et y = r.sin t, on a immédiatement l'équation polaire : r2 = 2a2cos 2t. L'aire d'une boucle est a2/2.

On trouve parfois la lemniscate sous la forme r2 = 2a2sin 2t : image de la précédente par une rotation d'angle π/4 (ci-dessous. Remarquer d'ailleurs que cos 2t = sin 2(π/4 - t).

Dans le cas général, on pourra vérifier que le cercle de centre O, de rayon a coupe la lemniscate en ses 4 points d'élongation maximale en y. Les tangentes en 0, point double, sont perpendiculaires.

Mais on peut aussi s'intéresser à l'équation paramétrique qui est un peu plus délicate... On a :

x2 = 2a2cos 2t x cos2t  et  y2 = 2a2 cos 2t x sin2t

et, quitte à compléter par symétries, on peut supposer t[0,π/4] , afin d'avoir cos 2t non négatif. On pose alors u = tan t. Dans ces conditions, u varie de 0 à 1 et on a les formules élémentaires :

En remplaçant dans x2 exprimé précédemment, on trouve facilement :

Afin d'exprimer x2 sous la forme d'un carré, posons maintenant u = sin θ, loisible car u varie de 0 à 1; on a θ = Arcsin(tan t), qui varie alors de 0 à π/2, et

En éliminant la possibilité opposée non utile, car si θ varie de π/2 à π la détermination ci-dessus fournit la valeur opposée (négative de x) que nous voulions (symétrie par rapport à O). Il s'agira alors de choisir la bonne détermination de y. Sachant que :

un calcul analogue fournit :

En conclusion :

Sous la forme r2 = 2a2sin 2t : la rotation de centre O, d'angle π/4, d'expression analytique

x' = (x - y)/2 , x' = (x + y)/2

conduit à :


Lemniscate de Bernoulli en tant qu'inverse de l'hyperbole :

L'inversion de pôle O de rapport a2 transforme la lemniscate en l'hyperbole équilatère :

x2 - y2 = 2a2

dont les foyers sont les images des foyers de la lemniscate.

Montrons ce résultat dans le cas 2a2 = 1 (soit a = 1/2) afin de simplifier les calculs. On a, avec les notations ci-dessous :

Par suite OM2 OM'2 = 1 : on passe de la lemniscate à l'hyperbole par l'inversion de pôle O, de rapport 1. Le foyer de la lemniscate d'abscisse positive, est ici en (2/2;0) et celui de l'hyperbole équilatère est en (2;0). Ils s'échangent donc bien dans l'inversion.

 Enfin, on peut aussi montrer que la podaire par rapport à O de l'hyperbole équilatère est la lemniscate :

Podaire de l'hyperbole :                    Lemniscate de Gerono :


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