ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rebroussement, inflexion, point double d'une courbe plane paramétrée 
   
 »  Point double d'une courbe paramétrée | cas implicite f(x,y) = 0 | point d'inflexion du cas explicite y = f(x) | cas polaire

 Nombreux exemples illustrés tout au long de la page

Dans un contexte cinématique, une courbe plane paramétrée définie par la donnée d'un point M(t) de coordonnées (x(t),y(t)) s'interprète comme la trajectoire du point M en fonction du temps : le paramètre t. L'étude locale d'une courbe plane en un point M(to), définie par une représentation paramétrique, conduit à quelques difficultés si dM/dt, vecteur tangent de coordonnées (x'(t),y'(t))  s'annule en to, c'est à dire lorsque x'(t) et y'(t) s'annulent simultanément.  Cela correspond mécaniquement à l'annulation de la vitesse de M. Comme pour les représentations implicites du type f(x,y) = 0, on parle là encore d'un point stationnaire ou singulier.

Dans le cas d'un point singulier, l'équation de la tangente en un point M(xo,yo) de la courbe s'écrit (y - yo)x'(to) = y'(to)(x - xo) conduisant dans le cas étudié à 0 = 0 : la tangente est a priori indéterminée.

En un point ordinaire son coefficient directeur est y'(to)/x'(to) lorsque x'(to) est non nul; sinon, il est infini : tangente parallèle à l'axe des ordonnées; son signe apportant un complément d'information sur le sens de variation.

L'annulation simultanée de x'(t) et y'(t) peut signaler :

  !  Contrairement au cas implicite f(x,y) = 0, dans ce cas paramétré, un point double (par lequel la courbe passe au moins deux fois) n'est pas nécessairement un point singulier. De tels points sont évoqués in fine ainsi qu'en exercice sur ces deux pages #1 et #2.

Étude :   

On suppose x et y (fonctions de t) sont de classe C2 au moins (deux fois continument dérivables). En un point stationnaire, la tangente apparaît indéterminée mais nous pouvons retrouver sa direction en passant par un développement limité de x(t) et y(t) d'ordre au moins égal à 2.

Eu égard à la formule de Taylor, la tangente en Mo est portée par le premier vecteur dérivé p-ème non nul de OM(t), noté ici Tp, de coordonnées (x(p)(to),y(p)(to)). Quatre cas sont à envisager.

  Lorsque la courbe traverse sa tangente en changeant de concavité, il y a rebroussement de première espèce ou inflexion  , laquelle peut se produire en cas de point singulier ou non).


Ci-dessus, la courbe traverse sa tangente au point considéré  

Ces deux cas correspondent à un changement de concavité de la courbe, donc à un changement de signe du rayon de courbure, c'est à dire, dans ce cas paramétré à un changement de signe de x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t).

Dans le cas d'une inflexion, qui n'est pas un point double on peut retrouver ce résultat au moyen du cas élémentaire d'une équation explicite y = f(x) consistant à rechercher les zéros et le signe de f"(x) = d2y/dx2 : dans ce cas paramétré dy = y'(t)dt et dx = x'(t)dt. On a donc dy/dx = y'(t)/x'(t). Notons m(t) ce quotient.  On a :

     (m')

Lorsque le signe de x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t) au voisinage du point considéré, mieux vaut traiter le problème par des considérations sur les valeurs et le sens de variation de x et y au voisinage de M.

    Rappelons ce joli théorème de Du Gua de Malves :

Si une cubique admet trois points d'inflexion, alors ces trois points sont alignés


La cubique x3 + y3 - 2yx2 + xy2 - xy - y = 0, admet trois points d'inflexion alignés

   Étude du bifolium  | Exemples et exercices | cardioïde         » Mordell , Courbes elliptiques

  Lorsque la courbe ne traverse pas sa tangente, on est face :

Ci-dessus, la courbe reste du même côté de sa tangente au point considéré

Le nombre m(t) = y'(t)/x'(t), coefficient directeur (pente) de la tangente en Mo se présente sous la forme 0/0. Exceptés certains cas relativement simples comme ci-dessous, il faudra lever l'indétermination afin d'obtenir la limite effective de m. On peut utiliser la règle de l'Hôpital : m est aussi la limite de y"/x", voire de y'''/x''' si la forme 0/0 se répète, etc. Et il pourra être utile de calculer m'(t) = dm/dt indiquant le sens de variation du coefficient directeur des tangentes.

 Rebroussement de 1ère espèce : p est pair, m' ne change pas de signe au voisinage de to :

  Un exemple élémentaire est donné ci-dessous par : x = t2 , y = t5 , soit y2 = x5. On a ici p = 2 , m = y'/x' = 5t3/2 , m' = 15t2/2. Tangente horizontale à l'origine : T2(2;0)

                     »  Courbe piriforme

  Un exemple plus subtil illustré : x = 2t - 1/t2 , y = 2t + t2, rebroussement en (-3;-1) avec point double en (-5;1)

   

Deltoïde, Astroïde : »

 
Prouver que la courbe définie par y = | x4 - x2 | admet 2 points de rebroussement de 1ère espèce en x = ±1.

un autre exemple en coordonnées cartésiennes

 Rebroussement de 2ème espèce : p pair, m' change de signe au voisinage de to :

  Dans cet exemple un peu difficile (les calculs sont assez lourds...), le rebroussement est à l'origine.
La tangente en O(0,0) est horizontale : T
2(-1;0).

La courbe admet un point double en (1/6;1/3) : lorsque t = π/4 (soit cos t = 1/√2) et t = 2,0344..., soit cos t = -1/√5).

Animation :   

La courbe est entièrement décrite pour t variant de 0 à π. La courbe "démarre" en (1/2;0) et décrit une cloche jusqu'en (0;0) pour t = π/2; elle "rebrousse" chemin et "monte" jusqu'en (1/2;1) pour t = 3π/4, puis "redescend" pour boucler lorsque t = π :

 Allure ordinaire : p impair, m' ne change pas de signe au voisinage de to 

Un exemple élémentaire est donné par x = t3 , y = t4 (y3 = x4), auquel cas p = 3, m = 4t/3 et m' = 4/3.
Tangente horizontale à l'origine : T3(6;0).

Inflexion : p impair, m' change de signe au voisinage de to

Un exemple élémentaire est donné par : x = t5 , y = t3 (y5 = x3). On a ici p = 3, m = 0,6/t2 et m' = -1,2/t3. Tangente verticale à l'origine : T3(0;6). Il s'agit d'un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente. Cas à rapprocher de la cubique y = x3.

Point d'inflexion, cas y = f(x)  : »            Théorème de Du Gua :  »

Remarque concernant l'inflexion dans le cas polaire :

Le cas polaire r = f(t) peut être paramétré par x(t) = rcost , y(t) = rsint et on peut alors utiliser (m') ci-dessus. On pourra aussi prouver la condition nécessaire d'inflexion en un point autre que O, à savoir :

r2 - rr'' + 2r'2 = 0  ou  1/r + (1/r)'' = 0

Point doubles, points multiples d'une courbe paramétrée :

La courbe étant définie par x = f(t), y = g(t),  il s'agit de rechercher deux valeurs u et v distinctes du paramètre t telles que f(u) = f(v) et g(u) = g(v).

 !  Contrairement au cas implicite, courbe définie par une équation du type f(x,y) = 0, l'annulation simultanée de x'(t) et y'(t) n'est pas une condition nécessaire à un point double.

Si l'équation est de nature périodique T, il s'agira bien entendu de rejeter les valeurs u et v telles que u - v soit un multiple de T.

Dans le cas d'une équation rationnelle (f et g fractions rationnelles de t), on pourra systématiquement mettre u - v en facteur et simplifier le système.

On pourra aussi poser S = u + v, P = uv et simplifier encore le système en se ramenant au calcul préalable de S et P.


On considère la courbe (Γ) d'équation :  x = 2t3 + 3t2 , y = 3t4 + 4t3.
Montrer que cette courbe admet 2 points de rebroussement et un point double que l'on précisera.
Sol. :

 

» Cet exemple est emprunté à Jean Taillé dans courbes et surfaces, que sais-je ? n°564, Ed. P.U.F. - Paris, 1953



Vérifier que la courbe ci-dessous paramétrée par x = 1/t2 , y = 1/(t - 1)2 admet un point de rebroussement
et deux asymptotes verticales. On en donnera une équation cartésienne au moyen de deux déterminations.


Points doubles d'une courbe paramétrée non rationnelle : x = sint.cos2t , y = cost , t est réel.


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