ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rebroussement, inflexion, point double d'une courbe plane paramétrée       »  Point double d'une courbe paramétrée | cas implicite f(x,y) = 0 | point d'inflexion du cas explicite y = f(x) | cas polaire

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Nombreux exemples illustrés tout au long de la page

Dans un contexte cinématique, une courbe plane paramétrée définie par la donnée d'un point M(t) de coordonnées (x(t),y(t)) s'interprète comme la trajectoire du point M en fonction du temps : le paramètre t. L'étude locale d'une courbe plane en un point M(t_o), définie par une représentation paramétrique, conduit à quelques difficultés si dM/dt, vecteur tangent de coordonnées (x'(t),y'(t))  s'annule en t_o, c'est à dire lorsque x'(t) et y'(t) s'annulent simultanément. Cela correspond mécaniquement à l'annulation de la vitesse de M. Comme pour les représentations implicites du type f(x,y) = 0, on parle là encore d'un point stationnaire ou singulier.

Dans le cas d'un point singulier, l'équation de la tangente en un point M(x_o,y_o) de la courbe s'écrit (y - y_o)x'(t_o) = y'(t_o)(x - x_o) conduisant dans le cas étudié à 0 = 0 : la tangente est a priori indéterminée.

En un point ordinaire son coefficient directeur est y'(t_o)/x'(t_o) lorsque x'(t_o) est non nul; sinon, il est infini : tangente parallèle à l'axe des ordonnées; son signe apportant un complément d'information sur le sens de variation.

L'annulation simultanée de x'(t) et y'(t) peut signaler :

• un extremum (maximum ou minimum);

• un point de rebroussement;

• un point d'inflexion, c'est à dire à un changement de concavité de la courbe.

  !  Contrairement au cas implicite f(x,y) = 0, dans ce cas paramétré, un point double (par lequel la courbe passe au moins deux fois) n'est pas nécessairement un point singulier. De tels points sont évoqués in fine ainsi qu'en exercice sur ces deux pages #1 et #2.

Étude :   

Notons F : t → (x(t),y(t)) la fonction qui à t associe le couple de coordonnées de M(t). On suppose que t → x(t) et t → y(t) sont de classe C^k, k ≥ 2 (k fois continument dérivables). En un point stationnaire, la tangente apparaît indéterminée mais nous pouvons retrouver sa direction en passant par un développement limité de x(t) et y(t) d'ordre au moins égal à 2 grâce à la formule de Taylor.

La tangente en M_o est portée par le premier vecteur dérivé p-ème non nul de OM(t), noté ici T_p, de coordonnées F^(p)(t_o) = (x^(p)(t_o),y^(p)(t_o)). On admet maintenant l'existence d'un plus petit entier q vérifiant p < q ≤  k pour lequel le vecteur T_q de coordonnées (x^(q)(t_o),y^(q)(t_o)) soit linéairement indépendant de T_p : le couple (T_p,T_q) est une base du plan.

Les dérivées de F d'ordre inférieur à p étant toutes nulles et celles d'ordre inférieur à q (q ≥  p+1) étant colinéaires à (x^(p)(t_o),y^(p)(t_o)), La formule de Taylor appliquée à F au voisinage de t_o :

En choisissant comme repère local (M_o, F^(p)(t_o)/p!, F^(q)(t_o)/q!), les coordonnées de M(t) au voisinage de M_o sont alors :

x(t_o+ h) = h^p +  o(h^p) , y(t_o + h) = h^q + o(h^q)

Quatre cas sont alors à envisager selon la parité de p et q :

♦  La courbe traverse sa tangente en changeant de concavité :     

Il y a là rebroussement de première espèce ou inflexion, laquelle peut se produire en cas de point singulier ou non.

p pair, q impair                                  p impair, q impair
Ci-dessus, la courbe traverse sa tangente au point considéré  

♦  Lorsque la courbe ne traverse pas sa tangente :     

p pair, q pair                                  p impair, q pair
Ci-dessus, la courbe reste du même côté de sa tangente au point considéré

• soit à un point de rebroussement de seconde espèce;  » exemple

• soit à un point finalement ordinaire, généralement appelé méplat.
  C'est une fausse alerte : tout se passe comme si T₁ = dM/dt était non nul.

♦  2ème espèce : considérons la courbe définie par x = t⁴ , y = t² + t³

x' = 4t³         | x'' = 12t²     |   x''' = 24t  |   x⁽⁴⁾ = 24
y' = 2t + 3t²  | y'' = 2 + 6t  |   y''' = 6    |   y⁽⁴⁾ = 0

En O(0,0), on a T₁(0,0); T₂(0,2) est non nul  et dirige donc la tangente en O; mais T₂ est colinéaire à T₃(0,6). On considère alors T₄(24,0) linéairement indépendant de T₂. On a donc ici p = 2, q = 4.

 

♦ Inflexion : considérons la courbe définie par : x = t⁵ , y = t³ (y⁵ = x³).

x' = 5t⁴   | x'' = 20t³  |   x''' = 60t²  |   x⁽⁴⁾ = 120t  |   x⁽⁵⁾ = 120
y' = 3t²   | y'' = 6t     |   y''' = 6      |   y⁽⁴⁾ = 0       |   y⁽⁵⁾ = 0
 

Tangente verticale à l'origine : T₃(0;6); T₄ est nul. T₃ est linéairement indépendant de T₅. On a donc ici p = 3, q = 5.Il s'agit d'un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente. Cas à rapprocher de la cubique y = x³.

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Étude de la courbe paramétrée x = 2t - 1/t² , y = 2t + t², t décrivant R*.
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On considère la courbe (Γ) d'équation :  x = 2t³ + 3t² , y = 3t⁴ + 4t³.
Montrer que cette courbe admet 2 points de rebroussement et un point double que l'on précisera. Sol. : ☼

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Vérifier que la courbe ci-dessous paramétrée par x = 1/t² , y = 1/(t - 1)² admet un point de rebroussement
et deux asymptotes verticales. On en donnera une équation cartésienne au moyen de deux déterminations.

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Points doubles d'une courbe paramétrée non rationnelle : x = sint.cos2t , y = cost , t est réel.

 ➔  Pour en savoir plus :

• Cours de mathématiques, tome 3, par Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Éd. Dunod, Paris - 1974-77, 2001

• Précis de mathématiques, par Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Éd. Bréal - Paris 1989.