ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Vous trouverez ici les solutions d'une grande partie des exercices rencontrés dans l'ensemble des pages de ChronoMath repérés par le petit logo ∗∗∗ indiquant un exercice d'application d'un résultat ou d'une définition.

Des exercices ou problèmes plus élaborés peuvent être consultés à partir de la page d'accueil du site
rubrique EXOS CLG/LYC/SUP.

  La  sonde américaine Cassini a été envoyée vers Saturne en octobre 1997. Elle est arrivée près de la planète début décembre 2004. En arrondissant , on peut dire qu’elle a parcouru 3 milliards de km en 7 ans. Pourrais-tu calculer sa vitesse moyenne en km/h ? (on utilisera 1 année = 365 jours et on arrondira à la centaine). Convertis ensuite cette arrondi en km/s (kilomètres par seconde) en arrondissant à l'unité. Tu as droit à la calculatrice !

7 x 365 = 2555 et 1 jour dure 24 heures, donc 7 ans durent 61320 heures. Exprimée en kilomètres par heure (km/h), la vitesse moyenne V de la sonde durant les 7 ans se calcule en divisant la distance d parcourue (exprimée en km) par le temps du voyage t (exprimé en heures) :

V_km/h = d/t = 3 000 000 000/61320 = 48923,679 km/h..., soit (arrondi à la centaine) : V_km/h = 48900 km/h.

1 heure = 3600 secondes : en divisant par 3600, on trouve la vitesse moyenne exprimée en kilomètres par seconde :

V_km/s = 48900/3600 = 13,589... soit, en arrondissant à l'unité : V_km/s = 14 km/s.

  Pour un périmètre donné p, comparer les aires du carré et de l'hexagone régulier.

Un carré de périmètre p est de côté p/4. son aire est donc p²/16. Un hexagone régulier se divise en 6 triangles équilatéraux de côté p/6. La hauteur h de ces triangles (apothème) se calcule facilement : h² = p²/36 - p²/144 = 3p²/144, soit h = p√3/12 (on retrouve là que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est a√3/2). L'aire de chaque triangle est donc 1/2 × p/6 × p√3/12 et celle de l'hexagone p²√3/24 (six fois plus). Comparons les aires trouvées en conjecturant p²√3/24 > p²/16. Cela revient à écrire √3/24 > 1/16, soit √3 > 3/2. Ce qui est exact car √3 ≅ 1,732 : à périmètre égal, l'aire du carré est moindre que celle de l'hexagone régulier.

  Dans un plan P, considérons un carré ABCD de centre O. Notons So la symétrie centrale par rapport à O, S1 la symétrie d'axe d1 passant par les milieux des côtés [AD] et [BC], S2 la symétrie d'axe d2 passant par les milieux des côtés [AB] et [CD] et i l'application identique de P. Montrer que muni de la loi de composition des applications, l'ensemble : E = {i,So,S1,S2} est un groupe commutatif dont on dressera la table de Pythagore.

On montre tout d'abord que la loi de composition des applications est interne dans E : on apprend au collège qu'une symétrie coïncide avec sa réciproque, donc So o So = S1 o S1 = S2 o S2 = i, élément neutre de la loi o. On sait aussi que la composée de deux symétries axiales d'axes perpendiculaires en O est la symétrie de centre O : S1 o S2 = S2 o S1 = So.

On montrera facilement géométriquement que So o S1 = S1 o So = S2, ce qui montrera aussi (raisonnement identique) que So o S2 = S2 o So = S1. La loi o est associative. La table de Pythagore résume la situation. On obtient bien un groupe où chaque élément est son propre inverse.

  1a) Avec les notations de la figure ci-dessous où ABDC est un parallélogramme, calculer le produit scalaire CD.CB  (on ne cherchera pas ici à calculer BH et/ou DH où H est le projeté orthogonal de B...).
1b) Retrouver votre résultat en calculant la valeur exacte de cos^DCB.
1c) Retrouver votre résultat en calculant la valeur exacte de DH.
2) Calculer le produit scalaire CD.CA de deux façons : au seul moyen des normes, puis en utilisant le projeté orthogonal de CA sur (CD).

1a) On utilise la formule u.v = ½ (|| u ||² + || v ||² - || u - v ||²) avec u = CD et v = CB , ce qui fournit : CD.CB = ½(CD² + CB² - BD²) = ½(16 + 36 - 9) = 21,5.

1b) La formule d'Al-Kashi appliquée dans le triangle BCD fournit : BD² = CD² + CB² - 2CD.CBcos^DCB, ce qui fournit cos^DCB = 43/48. D'où CD.CB = CD × CB × cos^DCB = 24 × 43/48 = 43/2 = 21,5.

1c) Une nouvelle application de la formule d'Al-Kashi dans le triangle BCD fournit : BC² = CD² + DB² - 2DC.DBcos^CDB, ce qui fournit cos^CDB = -11/24 (négatif car l'angle est obtus). Or, ^HDB = 180° - ^CDB, donc cos^HDB = -cos^CDB = 11/24. Par suite, DH = DB.cos^CDB = 3 × 11/24 = 11/8. Finalement, CD.CB = CD.CH = CD.(CD + DH) = 4 × (4 + 11/8) = 43/48 = 21,5.

2) On a CA = BD = 3. On utilise la formule u.v  = ½ (|| u + v ||^{2  -} || u ||² - || v ||²) avec u = CD et v = CA , ce qui fournit : CD.CA = ½(CB² - CD² - CA²) = ½(36 16 - 9) = 5,5. Soit maintenant A' le projeté orthogonal de A sur (CD). On a CD.CA = CD.CA'. Mais CA' = DH, d'où CD.CA = 4 × 11/8 = 5,5.

 Dans le plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé (O, i, j), on considère la rotation de centre O, d'angle π/4 et la symétrie axiale S d'axe (O, i). Justifier que S o R et R o S sont des symétries axiales et préciser leur axe.

S o R et R o S, composées d'un déplacement et d'un antidéplacement du plan sont des antidéplacements admettant au moins un point invariant (» isométries affines). Ce sont donc des symétries axiales. La détermination des axes de symétrie peut être ici obtenue par deux méthodes :

Méthode géométrique :

Notons (OJ) la médiatrice de [AC] en notant A(1,0), B = R(A), C = R^-1(A), I = S(J).

On a (OJ,OI) = π/4, R(J) = I et et S(I) = J (puisque S est involutive) d'où (S o R)(J) = S(I) = J. Or :

Si f est une application affine admettant deux points invariants M et N, la droite (MN) est invariante point par point.

La droite (OJ) est donc l'axe de la symétrie S o R. On procède de même pour la symétrie R o S : (R o S)(O) = R(O) = O et (R o S)(I) = R(J) = I : la droite (OI) est donc l'axe de la symétrie R o S.

Méthode analytique :

Intéressons-nous par exemple à S o R. Notons φ et ψ les endomorphismes associés respectivement à R et S. On a : ψ(i) = i et ψ(j) = -j et :

R et S laissant O invariant. Si P(x,y) est un point du plan, son image P'(x',y') par S o R vérifie :

D'où l'expression analytique de S o R : √2x' = x - y , √2y' = -x - y. L'axe de S o R est la droite de ses points invariants, soit (√2 - 1)x + y = 0. Son coefficient directeur est 1 - √2 : c'est tan (-π/8) : on retrouve (OJ).

 Soit (G,*) un groupe d'élément neutre e. Prouver que l'image par un homomorphisme h d'un sous-groupe distingué H de G est un sous-groupe distingué de h(G).

Le théorème 1 de transfert de structure permet d'affirmer que h(G) est un groupe et que h(H) est un sous-groupe de h(G). Si y désigne un élément de h(G), il existe un élément x de G tel que h(x) = y. Soit alors v un élément quelconque de h(H), il existe un élément u de H tel que h(u) = v. H étant distingué dans G, x_*u_*x^-1∈H, on lui applique h : on obtient le composé h(x)_*h(u)_*h(x^-1) = y_*v_*y^-1 car h(x^-1) = [h(x)]^-1 = y^-1. Ce qui montre que h(H) est distingué dans h(G).

  Vérifier que le groupe HT(ε) des homothéties-translations est un sous-groupe distingué du groupe affine GA(ε).

Soit f un élément de HT(ε) d'endomorphisme φ. On sait, selon Applications-affines-p21/, que f ∈ HT(ε) ssi φ ∈ H(E), groupe des homothéties vectorielles de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine ε. Or H(E) est le centre du groupe linéaire GL(E), il en est donc un sous-groupe distingué. L'application h : f → φ est un homomorphisme de GA(ε) dans GL(E). Le groupe HT(ε) apparaît comme image réciproque de H(E) par f. Or l'image réciproque d'un sous-groupe distingué est également distingué.

  On peut s'écrire dans Z[i√5] : 6 = 2 × 3 = (1 + i√5)(1 - i√5). Montrer que 2, 3, 1 + i√5 et 1 - i√5 sont irréductibles. 2 et 3 sont-ils premier dans Z[i√5] ?

Rappel : la norme d'un élément x = a + ib√k de l'anneau Z[i√k] est N(x) =  (a + ib√k)(a - ib√k) = a² + kb². On a N(x) = 0 ssi x = 0 et N(xy) = N(x)N(y)   » preuve.

Dans Z[i√5], si x est non entier N(x) = a² + 5b² ≥ 5. Donc N(x) < 5 exprime un x entier, x = ±1, x ±2 (dont la norme est un carré).

• Si d, autre que 1 et 2, divise 2 dans Z[i√5], il existe u dans Z[i√5] tel que 2 = d × u. N(2) = 4 = N(d)N(u). Dans N, N(d) est donc un diviseur de 4, donc d est entier, de norme d² divisant 4. d ne peut être que 2 : à rejeter. 2 est irréductible dans Z[i√5].

• Concernant 3, par un même raisonnement, N(3) = 9 = N(d)N(u). Dans N, N(d) devrait diviser 9 avec d autre que 1 et 3. Les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9. Si N(d) = 1 ou 3, alors d = 1 ou 3. Donc N(d) = 9. Dans ces conditions N(u) = 1, donc u = ±1 et d = ±3 : à rejeter.

• Concernant 1 ± i√5 , N(1 ± i√5) = 6 = N(d)N(u). Dans N, N(d) devrait diviser 6, donc N(d) = 1, 2, 3 ou 6. Les cas N(d) = 1, 2 ou 3 impliquent d entier : à rejeter. Le cas N(d) = 6 conduit encore à N(u) = ±1.

En conclusion, dans l'anneau Z[i√5], un élément, comme 6 possède deux décompositions en produit de facteurs irréductibles et dans cet anneau, 2 et 3 divisant le produit(1 + i√5)(1 - i√5) ne divise aucun des termes de ce produit : ils ne vérifient pas le lemme de Gauss. 2 et 3 sont ici non premiers et Z[i√5] n'est pas factoriel.

»  Kummer            » Notion d'idéal et divisibilité dans les anneaux

  On considère la fonction f, π-périodique, définie par f(t) = 3t/4 si t ∈ [0,2π/3] et f(t) = 3(π - t)/2 si t ∈ ]2π/3,π]. Vérifier que f est continue. Calculer sa valeur moyenne sur [0,π] et donner son développement en série de Fourier.

La représentation graphique sur [0,π] a l'allure ci-dessus. Sa continuité est bien claire...

La valeur moyenne de f sur l'intervalle est π/4 (calculer l'aire du triangle grisé et diviser par p : plus simple que le calcul intégral). Ce sera notre a_o/2 du développement en série de Fourier. On a ici ω = 2.

En intégrant par parties, on calculera sans difficulté les intégrales sur [0,2π/3] et [2π/3,π] des deux fonctions t × cos2nt et de t × sin2nt, ce qui conduira (attention aux erreurs de signe...), pour n au moins égal à 1, aux coefficients cherchés :

a_n = k.[cos(4nπ/3) - 1]   et  b_n = k.sin(4nπ/3)  avec k = 9/(8πn²)

On considère la transformation de Möbius : αzz' + βz + γz' + δ = 0 , α ≠ 0
a) Montrer que H est involutive si et seulement si β = γ
b) Dans le cas α = 1, β = γ = 2i, δ = -12 , on note M et M' les images respectives de z et z' dans le plan complexe. Rechercher les points invariants de H. Rapporter l'origine au point A(0,-2)  et préciser la nature géométrique de H.

a) trop facile...
b) zz' + 2i(z + z') -12 = 0.
z = z' ⇔ z² + 4iz =12 ⇔ (z + 2i)² + 4 = 12 ⇔ (z + 2i)² = 8 ⇔ z = ±2√2 - 2i
En posant Z = z + 2i pour tout z de C, on rapporte l'origine en -2i dont l'image est A(0,-2).
zz' + 2i(z + z') -12 = 0 devient ZZ' = 8 ou encore Z' = 8/Z = 8Z/|Z|² .

Soit (Ax') l'axe passant par A parallèle à (Ox). Z →Z' peut ainsi se décomposer : Z →8Z/|Z|² →8Z/|Z|² : composée de l'inversion de pôle A, de puissance 8, M→ M₁ tel que AM.AM₁ = 8, suivie de la symétrie par rapport à (Ax), M→ M'.

On a placé sur la figure ci-dessus le point (2√2,- 2) invariant par H : AI.AI = (2√2)² = 8 et I est invariant par symétrie d'axe (Ax'). Le second point invariant (non placé) est son symétrique par rapport à A.

  Dans le plan affine, on considère l'application f définie par M(x,y) → M'(x',y') = (3x - y + 1, 6x - 2y +3).
a) Justifier brièvement que f est une application affine.
b) Vérifier sans utiliser l'endomorphisme associé que f o f = f.   
c) Préciser les caractéristiques géométriques de cette application.

a) x' et y' sont de la forme ax + by + c, trinômes du 1er degré en x et y : f est donc une application affine du plan.

b) Soit M"(x",y"). On a M" = (f o f)(M) = f(f(M)) = f(M'), d'où :

(x",y") = (3(3x - y + 1) - (6x - 2y + 3) + 1 , 6(3x - y + 1) - 2(6x - 2y + 3) + 3) = (3x - y + 1 , 6x - 2y + 3) = (x',y').

M" = M' : nous avons effectivement f o f = f  (l'application f est donc une projection).

c) L'ensemble des points invariants vérifient le système {3x - y + 1 = x ; 6x - 2y + 3 = y}, se résumant à y = 2x + 1, équation d'une droite (D) du plan. Les coordonnées du vecteur MM' sont (x' - x, y' - y) = (2x - y + 1, 6x - 3y + 3) : MM' est colinéaire à u(1,3).
L'application f est donc la projection de direction u sur la droite (D) : y = 2x + 1.

  Dans l'espace affine 3D rapporté à un repère (O, i, j, k), on considère la droite (D) passant le point A(1,0,1), dirigée par u(1,2,1)
et le plan (P) d'équation x - 2y + z - 1 = 0. Donner l'expression analytique de la projection affine f sur (D) parallèlement à (P).

Soit M(x,y,z) un point quelconque de l'espace et M'(x',y,z') son image par f. L'équation paramétrique de la droite (D) contenant A est fournie par {x = 1 + k, y = 2k, z = 1 + k}, k décrivant R. Or M' ∈ (D), donc :

x' = 1 + k, y' = 2k, z' = 1 + k    (para)

Le vecteur MM' appartient au plan vectoriel dirigeant (P) dont une équation est  x - 2y + z = 0. En l'occurrence :

(x' - x) -2(y' - y) + (z' - z) = 0.

On remplace x', y' et z' par leurs valeurs en fonction de k, ce qui permet d'évaluer ce paramètre en fonction de x, y et z :

k = y + 1 - (x + z)/2

On reporte cette valeur dans (para) pour obtenir l'expression analytique cherchée, et on obtient :

x' = 2 + y - (x + z)/2 , y' = 2 + 2y - (x + z) , z' = 2 + y - (x + z)/2

On pourra, pour le plaisir... , calculer les coordonnées de M" = f(M') afin de retrouver celles de M', puisque f o f = f.

 Dans l'espace affine euclidien ε de dimension 3 rapporté au repère orthonormé (O,i,j,k), on considère l'application affine f : M → M' définie par :

3x' = 2x - y + z + 1 , 3y' = -x + 2y + z + 1 , 3z' = x + y + 2z - 1

a) Montrer que f est une projection sur un plan (P) parallèlement à une droite (δ) en précisant ces deux sous-espaces.
b) Quelle est la particularité de cette projection.

a) L'expression analytique de f indique que f est une applications affine puisque x', y' et z' sont des polynômes du 1er degré en x, y et z. On peut écrire matriciellement :

Notons A la matrice :

On constate que  A² = A : l'endomorphisme associé à f est un projecteur φ.
On peut écrire OM' = φ(OM) + OO' avec OO'(1/3,1/3,-1/3). Appliquons φ (c. à d. la matrice A) à ce vecteur : on a φ(OO') = 0. Selon la proposition 16-2, f est une projection. On constate que φ(i) et φ(j) sont linéairement indépendants mais φ(k) = φ(i) + φ(j) : f est une projection de direction u(1,1,-1), celle de OO', sur un plan (P). En revenant à l'expressions analytique de f, on trouve l'équation de (P) en recherchant les points invariants de f, à savoir x + y - z = 1.

b) Un représentant de la normale au plan vectoriel x + y - z = 0 est le vecteur u(1,1,-1) : f est donc la projection orthogonale sur (P).

 Résoudre les équations différentielles :
1. y" + y' - 2y = sin x avec y(0) = y'(0) = 0       2. y" - y'/x = xe^x
3. Un phénomène est régi, pour x > 0, par l'équation du second ordre x²y" + axy' + by = f(x) où a et b sont des constantes. Montrer qu'en posant u = ln x (logarithme népérien de x, on se ramène à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.

1. L'équation caractéristique possède les solutions r = -2 et r = 1. Par suite la solution générale de l'équation sans second membre est :

Afin de trouver une solution particulière, la méthode de la variation de la constante serait ici peu pertinente eu égard à la simplicité du second membre. Cherchons une solution de la forme :

a.sin x + b.cos x : on a y' = a.cos x - b.sin x, puis y" = -a.sin x - b.cos x

On reporte dans l'équation et on ordonne : (a - 3b).cos x + (-3a - b).sin x = sin x.

On est ramené au système très simple : a - 3b = 0 , -3a - b = 1 dont la solution est (a,b) = (-3/10;-1/10). La solution générale de l'équation est donc : y = c₁.e^-2x + c₂.e^x - (cos x + 3sin x)/10. Les conditions y(0) = y'(0) = 0 conduisent à : c₁ + c₂ = 1/10 , -2c₁ + c₂ = 3/10. D'où c₁ = -1/15 et c₂ = 1/6. Par suite :

y = -e^-2x/15 + e^x/6 - (cos x + 3sin x)/10

2. Cette équation du second ordre est linéaire mais ses coefficients ne sont pas (tous) constants. En cherchant à résoudre l'équation homogène associée y" - y'/x = 0 que l'on ramène à xy" - y' = 0 avec x non nul, on constate que y = c^te (constante) et y = x² sont des solutions "évidentes". La solution générale de l'équation homogène est alors :

y = a + bx²

Recherchons une solution particulière de l'équation complète par la méthode de la variation des constantes : on suppose que y = a + bx² est solution avec a et b fonction de x en forçant la relation a' + b'x² = 0.

On calcule y' = a' + b'x² + 2bx = 2bx, vu la condition précédente; puis y" = 2b'x + 2b. On reporte dans l'équation, ce qui fournit : 2b' = e^x. On obtient alors b = e^x/2 puis a' = -b'x², soit : 2a' = -x²e^x.

Une double intégration par parties fournit : a = -e^x(x²/2 - x + 1) et une solution particulière de l'équation complète est donc : y = a + bx² = (x - 1)e^x. La solution générale de notre équation est finalement :

y = k + x² + (x - 1)e^x , k réel

3. On a x = e^u et du = dx/x, donc du/dx = 1/x. Or :

• y' = dy/dx = (dy/du) × (du/dx) = (dy/du) × 1/x

• y" = d/dx[dy/dx] = (dy/du) × (-1/x²) + (d²y/du²) × (du/dx) × (1/x) = (dy/du) × (-1/x²) + (d²y/du²) × (1/x²)
      = (1/x²) + (d²y/du² - dy/du)

On remplace dans l'équation initiale x²y" + axy' + by = f(x) : d²y/du² + (a - 1)dy/du + by = f(e^u) que l'on peut écrire plus simplement :

y'' + (b - 1)y' + by = f(e^u) , y fonction de u     » Équation d'Euler

C'est bien une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.

 Résoudre les équations différentielles :
1. y' + y + 1 = e^x             2. y' + y = cos x             3. xy' + 2y = e^x , y(1) = 0     
4. y'' - 8y' + 15y = e^3xcos2x   : on se ramènera au 1er degré en posant y = ze^3x.

1.  L'équation que nous notons (e) s'écrit  y' + y = e^x - 1.

L'équation sans second membre Y' + Y = 0 s'écrit Y'/Y = - 1. C'est dire que Y = k.e^-x. Recherchons une solution particulière au moyen de la méthode de la variation de la constante :

Si y = k(x).e^-x, alors y' = k'e^-x - k.e^-x; on reporte dans (e), ce qui fournit k' = e^2x - e^x, soit : k(x) = e^2x/2 - e^x (à une constante additive près que nous choisissons nulle, puisqu'il s'agit ici de la recherche d'une solution particulière).

Une solution particulière de (e) est donc y_o = e^x/2 - 1 et la solution générale est Y + y_o soit :

2.  Pour ce second cas, la méthode de la variation de la constante conduit à k' = e^x.cos x, ce qui nécessite une intégration par parties  : à une constante additive près, on sait que :

On trouve sans difficultés : k(x) = ½(sin x + cos x) et finalement :

 ➔   Dans ces deux cas, on aurait pu procéder par tâtonnement dans la recherche de la solution particulière, ces dernières paraissent assez "naturelles" vu la nature de l'équation. Mais :

1. C'est toujours facile de dire cela quand on connaît le résultat...

2. Procéder par tâtonnements peut souvent prendre plus de temps et ce n'est pas très rigoureux à moins de parler d'intuition, ce qui est plus élégant...

Toutefois, concernant le 1er cas, il est intéressant de connaître le résultat bien évident (par raison de linéarité) suivant :

Si le second membre est de la forme f₁(x) + f₂(x) + ... et si y₁, y₂, ... sont des solutions particulières de l'équation obtenue en substituant respectivement f₁(x), f₂(x), ... au second membre, alors y₁ + y₂ + ... est une solution particulière de l'équation avec second membre.

Dans notre cas, il est clair que :

• l'équation y' + y = e^x admet y₁ = e^x/2 comme solution particulière;

• l'équation y' + y = -1 admet y₂ = -1 comme solution particulière.

On retrouve ainsi très simplement le résultat obtenu par variation de la constante.

  3.  La solution de l'équation homogène vérifie ln |Y| = ln(1/x²) + k = ln(e^k/x²). Ainsi Y = C/x² en posant C = ±e^k.

La méthode de la variation de la constante conduit à rechercher une solution particulière sous la forme y = a/x² avec y' = a'/x² - 2a/x³, d'où a' = x.e^x et une intégration par parties fournit a = (x - 1) e^x (à une constante additive près) :

Mais y(1) = 0, donc 0 = C et la solution de l'équation est finalement :

 

 4. En posant, comme indiqué, y = ze^3x, on est conduit à z" - 2z' = cos2x. On pose alors u = z' pour se ramener au 1er ordre. On obtient u = ke^2x comme solution générale de l'équation homogène.

La méthode de la variation de la constante fournit k par double intégration par parties et on obtient u = ¼(sin2x - cos2x). Finalement z = -(sin2x + cos2x)/8 + C + ½ke^2x . Par conséquent :

y = [-(sin2x + cos2x)/8 + C]e^3x + ½ke^5x

 Donner le développement de Taylor d'ordre 2 au point (1,1) lorsque f(x,y) = x³y² - x²y + 2x + 1

On a :

• f(1,1) = 3.

• ∂f/∂x = 3x²y² - 2xy + 2 ; ∂f/∂y = 2x³y - x².

• ∂²f/∂x∂y = 6yx² - 2x  ; ∂²f/∂x² = 6xy² - 2y ; ∂²f/∂y² = 2x³.

• ∂³f/∂x³ = 6y² ; ∂³f/∂x²∂y = ∂(∂²f/∂x∂y)/∂x = 12xy - 2 ; ∂³f/∂x∂y² = ∂(∂²f/∂x∂y)/∂y = 6x² ; ∂³f/∂y³ = 0.

• (h.∂/∂x + k.∂/∂y) f  = h(3x²y² - 2xy + 2) + k(2x³y - x²) = 3h + k au point (1,1).

• (h.∂/∂x + k.∂/∂y)⁽²⁾ f = h²∂²f/∂x² + 2hk∂²f/∂x∂y + k²∂²f/∂y² = h²(6xy² - 2y) + 2hk(6yx² - 2x) + k²(2x³)
                                 = 4h² + 8hk + 2k² au point (1,1).

• (h.∂/∂x + k.∂/∂y)⁽³⁾ f = h³∂³f/∂x³ + 3h²k∂³f/∂x²∂y + 3hk²∂³f/∂x∂y² + k³∂³f/∂y³ = h³(6y²) + 3h²k(12xy - 2) + 3hk²(6x²) + 0
                                 = 6h³y² + 36h²kxy - 6h²k + 18hk²x².

Donc, en vertu de la formule de Taylor pour deux variables, avec 0 < θ < 1 :

f(1 + h,1 + k) = 3 + 3h + k + (4h² + 8hk + 2k²)/2! + [6h³(1 +θk)² + 36h²k(1 +θh)(1 +θk) - 6h²k + 18hk²(1 +θh)²]/3!

En notant R(h,k) = hk(5h + 3k)+ h³ + o(h³) + o(k²), on pourra finalement écrire :

f(1 + h,1 + k) = 3 + 3h + k + 4hk + 2h² + k² + R(h,k)

Prenons un exemple numérique, h = k = 1/100 :

f(1.01 , 1.01) = 3 + 0,04 + 0, 0004 + 0, 0003 + R(1/00, 1/100) = 3,0407 + R(1/00, 1/100)

Une bonne approximation puisque la valeur exacte est de 3,04070905.

  Prouver que dans un ensemble fini E (ayant un nombre fini d'éléments), les propositions suivantes sont équivalentes :

1. f est une bijection de E;

2. f est une injection de E dans E;

3. f est une surjection de E sur E.

Notons n le cardinal de E (son nombre d'éléments). Il est clair que 1 ⇒ 2 et 1 ⇒ 3.

Supposons 2 : f étant injective et E étant fini, ses n éléments ont des images par f distinctes : donc f(E) possède n éléments. C'est dire que f(E) = E : f est surjective. Donc 2 ⇒ 3 et 2 ⇒ 1.

Supposons 3 : f étant surjective, les n éléments de E sont des images par f et, par suite, deux éléments distincts de E ne peuvent avoir la même image (il y aurait alors n-1 images au plus) : f est injective.

Donc 3 ⇒ 2 et 3 ⇒ 1 : les propositions 1, 2 et 3 sont équivalentes.

  L'énoncé des questions, relatives à la spirale de Fibonacci, est ici ou en cliquant sur la flèche de retour.

On sait Φ que est solution de l'équation Φ² - Φ - 1 = 0 ce qui revient à : Φ - 1 = 1/Φ.

1°/ On sait Φ que est solution de l'équation Φ² - Φ - 1 = 0 ce qui revient à : Φ - 1 = 1/Φ.
FC = kΦ - k = k(Φ - 1) = k/Φ.

2°/ a) GF/GE = FC/AE = (k/Φ)/k = 1/Φ.
     b) Pour montrer que EBHG est un carré, il suffit de montrer que GE = FC.
         Or EF = k = GE + GF = GE + GE/Φ = GE(1 + 1/Φ) = ΦGE. D'où GE = k/Φ = FC, ce qu'il fallait démontrer.
         Par suite, EF/EB = k/(k/Φ) = Φ : EBCF est bien un rectangle d'or.

3°/  GF/GE = 1/Φ et GE = k/Φ conduisent à GF = k/Φ². GHCF est un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est FC/GF = (k/Φ)/(k/Φ²) = Φ : c'est bien un rectangle d'or.

4°/  a)  Il suffit de montrer que KHCL est un carré : BH/BC = KH/FC, soit (k/Φ)/k = KH/(k/Φ), d'où KH = k/Φ² = GF = HC. GKLF est donc un rectangle d'or dont la largeur est GF/Φ = k/Φ³.

b) Dans le triangle rectangle BFC, tan ^BFC = k/(k/Φ) = Φ et dans le triangle rectangle DAC, tan ^DAC = (kΦ)/k = Φ. Deux angles aigus ayant même tangente ont même mesure, par suite ^BFC = ^DAC et les triangles DAC et FLC ont donc mêmes mesures d'angles. L'angle ^ADC étant droit, il en est de même de^FLC : les diagonales [AC] et [FB] sont perpendiculaires.

5°/ Par construction, la distance d(C_n,C_n+1) est k/Φⁿ et le rayon des quarts-de-cercle est k/Φⁿ⁺¹. Vu que Φ > 1, ces valeurs tendent vers 0 lorsque n augmente indéfiniment (suite géométrique de raison 1/Φ < 1. La suite des C_n converge donc vers un point limite. Les centres de rang pair sont situés sur [AC] et ceux de rang impair sur [FB]. Une suite ayant une unique limite, ce ne peut être que le point d'intersection de ces deux diagonales et les quarts-de-cercle se réduisent finalement à un "cercle-point" de rayon nul.

  On considère la courbe algébrique d'équation f(x,y) = x⁵ - (y - x²)² = 0. Calculer les dérivées partielles des premier et second ordre, former l'équation en m. Conclure.

a/ ∂f/∂x = x[5x³ + 4(y - x²)], ∂f/∂y = -2(y - x²).
b/ Un point de la courbe est singulier lorsque ∂f/∂x = ∂f/∂y. Le seul point annulant simultanément ∂f/∂x et ∂f/∂y est (0,0) effectivement sur la courbe. ∂²f/∂x∂y = 4x = 0 en (0,0)   |   ∂²f/∂x² = 5x³ + 11x² - 8x + 4y = 0 en (0,0)  |  ∂²f/∂y² = -2.

L'équation des pentes est -2m² = 0. Solution double m = 0 (le discriminant D = ∂²f/∂x∂y - ∂²f/∂x² × ∂²f/∂y² est nul, ∂²f/∂y² non nul). Point double tacnodal (deux tangentes confondues) en (0,0). Or, pour tout point M(x,y) de la courbe, x⁵ est un carré, x reste donc positif au voisinage de 0 : il s'agit alors en fait d'un rebroussement de 2ème espèce : la courbe reste au-dessus de sa tangente qui n'est autre que (Ox) :

  On considère la courbe algébrique (C) d'équation x⁴ + xy³ - y⁴ + 3xy - 2 = 0.
a) Calculer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses. Justifier que (C) ne traverse pas l'axe des ordonnées.
b) Justifier qu'en posant X = x - 2^1/4 et Y = y, la courbe (C') obtenue passe par l'origine. Quelle est l'équation de (C') ?
c) Utiliser la méthode générale puis le théorème de Cramer pour établir l'équation de la tangente en Ω à la courbe (C).
d) Montrer que (C) admet deux asymptotes obliques d'équation respectives y = m₁x et y = m₂x où m₁ et m₂ sont les deux racines réelles de l'équation m⁴ - m³ - 1 = 0, soit m₁ ≅ 1,380 et m₂ ≅ - 0,819.

a) Lorsque y = 0, on a x⁴ - 2 = 0, soit , donc x = ± ⁴√2 = ± 2^1/4 (racine quatrième de 2). Ce qui conduit à deux points Ω(2^1/4,0) et Ω'(-2^1/4,0) de l'axe des abscisses. Si (C) traverse (Oy), alors x doit égaler 0, on aurait - y⁴ - 2 = 0, soit y⁴ = - 2 : cela ne se peut.

b) En posant X = x - 2^1/4 et Y = y on translate le point Ω(2^1/4,0) en O. Par cette translation, (C) devient (C') d'équation : (X + 2^1/4)⁴ + (X + 2^1/4)y³ - y⁴ + 3(X + 2^1/4)y - 2 = 0. On peut développer afin de vérifier que (C') passe par Ω (absence de constante dans le développement) :

X⁴ - Y⁴ + 4 × 2^1/4X³ + (2^1/4 + X)Y³ + 6√2X² + (4 × 2^3/4 + 3Y)X + 3 × 2^1/4Y = 0

Ci-dessous, on a tracé (C) en rouge et, en bleu, sa translatée (C') de vecteur u(-2^1/4,0) dans le même repère.

c) En posant f(x,y) = x⁴ - y⁴ + xy³ + 3xy - 2, on a ∂f/∂x = 4x³ + y³ + 3y, ∂f/∂y = 3xy² - 4y³ + 3x. En Ω(2^1/4,0), on a ∂f/∂x = 4 × 2^3/4 et ∂f/∂y = 3 × 2^1/4. Dans ce cas d'équation implicite, l'équation de la tangente est (x - 2^1/4)∂f/∂x + (y - 0)∂f/∂y = 0, soit, en remplaçant les dérivées partielles par leurs valeurs respectives et en simplifiant par 2^1/4 :

4√2(x - 2^1/4) + 3y = 0

En utilisant la courbe (C') passant par O, selon Cramer, l'équation de la tangente en O à cette courbe est donnée en égalant à zéro la somme des monômes de plus bas degré, c'est à dire ici ceux du 1er degré, soit 4 × 2^3/4X + 3 × 2^1/4Y = 0 ou encore Y = -4√2X/3. Ce qui équivaut à y = -4√2(x - 2^1/4)/3 pour (C).

d) Recherchons les directions asymptotiques m = y/x en annulant la partie de l'équation constituée des termes de plus haut degré (ici 4), on obtient x⁴ + xy³ - y⁴ = 0, soit en divisant par x⁴ : 1 + m³ - m⁴ = 0. La résolution de cette équation peut être obtenue au moyen d'une calculatrice ou sur Chronomath par ce programme JavaScript : deux solutions m₁ ≅ 1,380277... et m₂ ≅ - 0,8191725....

Supposons maintenant que m soit une des deux valeurs trouvées et reportons y = mx + b dans l'équation de la courbe :

x⁴ - (mx + b)⁴ + x(mx + b)³ + 3x(mx + b) - 2 = 0

On développe en ne gardant que les termes de plus haut degré en x, qui seront en x³ car les termes en x⁴ s'éliminent vu que, selon les calculs précédents, 1  - m⁴ + m³ = 0 : on obtient 3m²b - 4m³b = bm²(1 - 4m) = 0. m n'étant ni nul si égal à 1/4, on déduit b = 0 et les asymptotes sont donc y = m₁x et y = m₂x.

  Diophante passa un sixième de sa vie dans la jeunesse et un douzième dans l'adolescence. Après un septième de sa vie et cinq ans plus tard, il eut un fils qui mourut hélas alors qu'il avait atteint la moitié de l'âge de son père. Diophante attristé ne lui survécut que quatre ans. à quel âge mourut ce grand savant ?

On obtiendra l'âge n cherché en sommant les fractions de sa vie et les années passées indiquées dans l'énoncé. On a tout simplement :

n = n/6 + n/12 + n/7 + 5 + n/2 + 4

On passe n/2 dans le membre de gauche;  le ppmc des dénominateurs est 12 × 7 = 84. 9n/84 = 9, donc n = 84.
Diophante a vécu 84 ans. Pas mal, pour l'époque...

  Montrer que l'équation x/y + y/z + z/x = 1, x, y, z non nuls, pgcd(x,y) = pgcd(y,z) = pgcd(z,x) = 1 ne possède aucune solution (x,y,z) en nombres entiers (W. Sierpinski, 250 problèmes de théorie élémentaire des nombres).

La solution est très simple : on constate que le produit des trois quotients x/y × y/z × z/x est égal à 1. On en déduit que l'un au moins de ces trois quotients est supérieur ou égal à 1. Par suite x/y + y/z + z/x > 1. Il n'y a donc pas de solution !

   Soit f et g dans L(E), λ et μ deux scalaires. Montrer que λμ(f o g) = (λf) o (μg).

Pour tout x de E :

• λμ(f o g)(x) = λμf(g(x)) = λ[μf(g(x))] = λ[f(μg(x))]  (dernière égalité du fait de la linéarité de f)

• λ[f(μg(x))] = λf(μg(x)) = (λf )((μg)(x))  = ((λf) o (μg))(x).

On a donc bien l'égalité fonctionnelle λμ(f o g) = (λf) o (μg), ou plus simplement :  λμ(f o g) = λf o μg.

» La linéarité de g n'a pas été utilisée.

  Montrer que le noyau d'un homomorphisme h d'un anneau A dans un anneau B, à savoir Ker(h) = {α∈A, h(α) = 0} est un idéal bilatère de A.

Notons additivement et d'égale manière les lois de A et B. Ker(h) est non vide dans A car il contient l'élément nul de A. Considérons deux éléments α et β de Ker(h); on a h(α) = h(β) = 0, donc h(α - β) = h(α) - h(β) = 0, ce qui montre que Ker(h) est un sous-groupe additif de A. Soit maintenant x∈Ker(h) et a un élément quelconque de A, h(a × x) = h(a) × h(x) = h(a) × 0 = 0 : Ker(h) est un idéal à gauche. De même h(x × a) = 0 : Ker(h) est un idéal bilatère de A.

  On appelle projecteur un endomorphisme π d'un espace vectoriel E vérifiant π o π = π. L'application identique id_E vérifie cette propriété. C'est un automorphisme trivial. Montrer que si π est un projecteur distinct de id_E, alors π n'est pas bijectif et que son image n'est autre que l'ensemble de ses vecteurs invariants. On pourra noter 0 le vecteur nul de E.

a) Pour tout vecteur v de E, on a π(π(v)) = π(v), ce que l'on peut écrire par linéarité de π :  π(π(v) - v) = 0 ou encore π[(π - id_E)(v)] = 0. Par suite, pour tout v de E, (π - id_E)(v) est élément du noyau de π. Or, si π n'est pas l'identité, alors il existe v dans E tel que π(v) ≠ v ce qui signifie (π - id_E)(v) ≠ 0 et donc que le noyau de π n'est pas réduit à {0} : π n'est pas bijectif.

b) L'ensemble J des vecteurs v invariants par π est caractérisé par π(v) = v. Donc tout vecteur de J est image de lui-même : J est inclus dans Im(π). Inversement soit w l'image d'un vecteur v de E, on a w = π(v). En appliquant π, on obtient π(w) = (π o π)(v) = π(v) = w. Donc tout vecteur de Im(π) est invariant par π : Im(π) est inclus dans J. En conclusion J = Im(π).

c) Comme vu en a), π(π(v) - v) = 0 pour tout v de E. Tout vecteur v de E peut alors s'écrire v + (π(v) - v) et est donc somme d'un élément de l'image et du noyau. Reste à prouver que Inv(π) et Ker(π) n'ont que 0 en commun :

v ∈ Inv(π) ∩ Ker(π) ⇔ π(v) = v et π(v) = 0, donc v = 0.

  Propriétés fondamentales des congruences :

♦1. si a ≡ b [p] , alors pour tout n : a × n ≡ b × n  [p]

a ≡ b [p] ⇔ a - b multiple de p; on a alors n(a - b) multiple de p, donc  a x n - b × n ≡ 0, c'est à dire a × n ≡ b × n.
 !   réciproque est fausse : par exemple, 4 × 5 ≡ 4 × 8  [6] mais non pas 5 ≡ 8  [6].

♦2. si a ≡ b [p] et c ≡ d [p], alors : i/ a + c ≡ b + d [p]   ii/ a - c ≡ b - d [p]   iii/ a × c ≡ b × d [p]

Cas de l'addition : a ≡ b [p] et c ≡ d [p] ⇔ a - b et c - d multiples de p ⇒ (a - b) + (c - d) multiples de p ⇒ (a +c) - (b +c) multiples de p; donc (a + c) ≡ (b +c) [p]. On procéderait de même pour la soustraction et la multiplication membre à membre des congruences.

♦3. si a ≡ b [p] et si a, b et p sont divisibles par d, alors : a/d ≡ b/d  [p/d]

a ≡ b [p] ⇔ a - b multiple de p ⇔ a - b = kp, k∈N* ⇔ a/d - b/d = k(p/d), k∈N* ⇔ a/d ≡ b/d [p/d]

♦4. si a ≡ b [p] et si a et b sont divisibles par d lequel est premier avec p, alors : a/d ≡ b/d  [p]

a ≡ b [p] ⇔ a - b multiple de p ⇔ a - b = kp, k∈N* ⇔ d(a/d - b/d) = kp, k∈N*. d divise donc kp. Étant premier avec p, selon un théorème arithmétique de Gauss, d divise k. En posant k' = k/d, on a alors  a/d - b/d = k'p, c'est à dire a/d ≡ b/d [p/d].

♦ 5. si a ≡ b [p] , alors aⁿ ≡ bⁿ  [p]
 !   réciproque fausse : 2⁶ ≡ 5⁶  [7] mais on n'a pas 2 ≡ 5  [7] ou encore : 9³ ≡ 4³  [7] mais non pas 9 ≡ 4  [7].

Ce résultat est la conséquence immédiate, quitte à raisonner par récurrence, de la propriété 2. iii/ ci-dessus.

 Un nombre de Carmichael est un entier naturel n non premier tel que pour tout entier a, 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et aⁿ ≡ a [n]. En raisonnant "par l'absurde", montrer au seul moyen de la définition ci-dessus qu'un nombre de Carmichael est sans facteur carré (dans la décomposition de n en facteurs premiers, tout facteur premier p de n apparaît avec l'exposant 1).

Supposons que n admette un facteur carré p; on peut alors écrire n = p² × q. On a 1 < p < n, p et n premiers entre eux et pⁿ ≡ p [n]. Par suite pⁿ - p ≡  0 [n] est un multiple de n, donc un multiple de p². Autrement dit p² divise pⁿ - p mais, divisant pⁿ =(p²)^q , p² devrait diviser p : absurde (car p est premier, distinct de1).

  a) Exprimer cos3t en fonction de sin t et cos t puis en fonction de cos t seul. En déduire la forme linéarisée de cos³t.
      b) linéariser sin³tcos⁴t.

a) En développant la formule de Moivre (cost + i.sint)³ = cos3t + i.sin3t, on obtient :

cos³t + 3icos²t.sint - 3cost.sin²t -i.sin³t = cos3t + i.sin3t

Et en identifiant les parties réelle et imaginaire : cos3t = cos³t - 3cost.sin²t = 4cos³t - 3cost  (et sin3t = 3cos²t.sint - sin³t). On en déduit :

cos³t = ¼(cos3t + 3cost)

b) Afin de linéariser sin³tcos⁴t, on écrit :

Le produit sin³tcos⁴t étant une fonction impaire de t, nous n'obtiendrons que des sinus. On développe en gardant 2i au dénominateur et on obtient, en regroupant les e^int avec les e^-int :