ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'une cubique     niveau Sup

Voici une courbe algébrique du 3è degré (cubique) d'équation :

x3 - y3 - x2 = 0

Écrivons y3 en fonction de x : y3 = x3 - x2 = x2(x - 1). Le nombre y3 étant partout défini, il en est de même de sa racine cubique y = f(x) = (x3 - x2)1/3, racine cubique de x3 - x2.

On a 3y2y' = 3x2 - 2x = x(3x - 2). Le signe de y' est donc simple : f décroît sur [0,2/3] et croît partout ailleurs.

Étude locale en x = 0, y = 0 :

Le taux d'accroissement est  T = f(x)/x = (x3 - x2)1/3/x. Pas simple, mais T3 = 1 - 1/x tend vers l'infini avec le signe de -x. Il en est donc de même de T. Cela signifie une tangente verticale à la courbe en (0,0).

On peut remarquer qu'au voisinage de 0, on a y3 = x2(x - 1) < 0. C'est aussi le signe de y : la courbe un admet un point de rebroussement à l'origine.

Étude locale en x = 2/3 :

La fonction passe par un minimum de valeur f(2/3) -0,53.

Étude locale en x = 1 :

Le taux d'accroissement est ici   :

T3 tend vers +. Il en est donc de même de T. Ce qui signifie une tangente verticale à la courbe en (1,0).

Étude des branches infinies :

y3 a même limite que x3. donc, pour x infini, y = f(x) tend vers l'infini avec le signe de x. Étudions la limite du rapport f(x)/x par le biais de y3/x3 = 1 - 1/x : la limite est 1. il y a donc une direction asymptotique [y = x], 1ère bissectrice du repère.

Étudions la limite de f(x) - x en notant tout d'abord que :

A l'infini x3 - x2 est équivalent à x3, donc f(x) - x est équivalent à -1/3 : il y a asymptote oblique d'équation y = x - 1/3.

 


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