ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'une cubique #1       niveau Sup        #1bis (version implicite & paramétrée) , #2 , index étude de courbes

Voici une courbe algébrique du 3è degré (cubique) d'équation :

x3 - y3 - x2 = 0

Dans ce cas simple de cubique, on peut exprimer facilement y en fonction de x et étudier une fonction numérique de façon élémentaire. Dans la version 1bis, on étudie la même courbe en utilisant les résultats sur les équations implicite et paramétrée.

Écrivons y3 en fonction de x : y3 = x3 - x2 = x2(x - 1). Le nombre y3 étant partout défini, il en est de même de sa racine cubique :

La fonction dérivée de f pose problème en x = 0 et x = 1 (valeurs annulant y), mais le signe de y' est simple : f décroît sur [0,2/3] et croît partout ailleurs.

Étude locale en x = 0, y = 0 :

Le taux d'accroissement est  T = f(x)/x = (x3 - x2)1/3/x. Pas simple, mais T3 = 1 - 1/x tend vers l'infini avec le signe de -x. Il en est donc de même de T. Cela signifie une tangente verticale à la courbe en (0,0).

On peut remarquer qu'au voisinage de 0, on a y3 = x2(x - 1) < 0. C'est aussi le signe de y : la courbe un admet un point de rebroussement à l'origine.

Étude locale en x = 2/3 :

La fonction passe par un minimum de valeur f(2/3) -0,53.

Étude locale en x = 1 :

Le taux d'accroissement est ici   :

T3 tend vers +. Il en est donc de même de T. Ce qui signifie une tangente verticale à la courbe en (1,0).

Étude des branches infinies :

y3 a même limite que x3. donc, pour x infini, y = f(x) tend vers l'infini avec le signe de x. Étudions la limite du rapport f(x)/x par le biais de y3/x3 = 1 - 1/x : la limite est 1. il y a donc une direction asymptotique [y = x], 1ère bissectrice du repère.

Étudions la limite de f(x) - x en notant tout d'abord que :

A l'infini x3 - x2 est équivalent à x3, donc f(x) - x est équivalent à -1/3 : il y a asymptote oblique d'équation y = x - 1/3.

 


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