ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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JORDAN Camille Marie-Ennemond, français, 1838-1922

Reçu 1er au concours d'entrée à l'École polytechnique, Jordan fut tout d'abord ingénieur de Mines en province puis à Paris (1867) où il débute une nouvelle carrière : professeur à l'École polytechnique (1876), il enseigne aussi au collège de France (dès 1875) et succède à Liouville (1883) en assurant le suivi de son Journal de mathématiques pures et appliquées.

Jordan succédera également à Chasles à l’Académie des sciences en 1881. Ses travaux portent essentiellement sur l'algèbre linéaire et les structures algébriques (théorie des groupes en particulier).

Dans son Traité des substitutions et des équations algébriques (1870), il rend hommage aux travaux de Galois et complète sa théorie des groupes (sous-groupe distingué, groupe résoluble, groupe quotient, étude des groupes infinis) et achève la résolution des équations algébriques de degré quelconque (les résultats de Galois concernaient un degré premier).

C'est à Weber (1893) que l'on devra la définition axiomatique d'un groupe abstrait non nécessairement fini. L'étude du groupe linéaire des applications linéaires de Cn dans lui-même lui permet de découvrir des méthodes de réduction des matrices. Ce grand mathématicien est le petit-fils du politicien français Camille Jordan (1771-1821)

Courbes de Jordan, arcs & surfaces de Jordan :

Le concept de courbe n'est pas simple. Jusqu'à cette époque une courbe était algébrique : définie par une expression polynomiale ou bien unicursale (paramétrée). Une courbe peut être considérée comme le bord d'une surface. Dans ce contexte, le développement de la topologie avec la notion d'intérieur et d'extérieur nécessitait une redéfinition, voire une classification.

Rappelons à ce propos que depuis Möbius et son fameux ruban, on sait qu'ne surface peut n'avoir ni intérieur ni extérieur ! L'apparition des courbes fractales quelques décennies plus tard avec Peano, Koch, Julia et Mandelbrot révolutionnera cette branche de l'analyse et nécessitera des définitions et des outils d'étude encore plus complexes.

On peut définir une courbe de Jordan comme image du cercle unité de R2 (de centre O de rayon 1) par une fonction continue et injective à valeurs dans Rn ( n 2). R2 et Rn sont ici assimilés à des espaces métriques affines. En tant qu'image continue d'un cercle, une courbe de Jordan est fermée. L'injectivité exprime qu'une telle courbe n'admet pas de points doubles : c'est une courbe simple. En d'autres termes :

On appelle courbe de Jordan une courbe simple et fermée de l'espace Rn

A droite, le "nœud de trèfle", courbe fermée de l'espace R3, sans point double ( théorie des nœuds). C'est un exemple de courbe de Jordan, également appelée courbe de Hoppe dont une équation peut s'écrire x = cost(3cost + 2), y = 5sintcost, z = sint(25cos2t - 1) : source Alain Bouvier. On trouvera également sur le site de Robert Férreol, le nœud de trèfle et ses équations.

Reinhold Hoppe, mathématicien allemand (1816-1900). Travaux en analyse et géométrie différentielle, courbes & surfaces.

Sans faire allusion au cercle, une définition dans le cas du plan pourrait être la suivante : courbe définie par une fonction continue périodique f : t (x(t),y(t)) dont la restriction à tout intervalle [t, t + T[ est injective.

Dans le plan, toute courbe de Jordan est homéomorphe au cercle unité : deux courbes de Jordan s’échangent par homéomorphisme (bijection continue dont la réciproque l'est aussi : bijection bicontinue). Topologiquement, une courbe de Jordan est compacte et connexe. C'est aussi un lacet (mais un lacet n'est pas toujours une courbe de Jordan).

Concrètement, il s'agit de courbes fermées simples dont on peut définir un intérieur et un extérieur. Un exemple élémentaire est le cercle ou l’ellipse. Un contre-exemple : la lemniscate de Bernoulli. On a ce résultat fondamental :

Dans le plan, le complémentaire d'une courbe de Jordan (C) possède deux composantes connexes de frontière (C).
L'une est bornée :  intérieur de (C), la seconde ne l'est pas : extérieur de (C).

Ensembles et espaces connexes, notion d'homotopie :

Arc de Jordan :    

On appelle ainsi l'image d'un intervalle fermé J = [a,b] de R par une application continue et injective de J dans Rn. Un tel arc est donc homéomorphe à un segment.

Surface de Jordan :     

Ces surfaces sont à l'espace ce que les courbes sont au plan : elles sont l'image de la sphère unité de R3 par une fonction continue et injective à valeurs dans Rn (n 3). La sphère, l'ellipsoïde sont des surfaces de Jordan. Le ruban de Möbius n’en est pas une (on ne peut y définir un intérieur et un extérieur). Ces notions se rattachent à la topologie différentielle.

Mesure de Jordan :

à la frontière de la topologie et de l'analyse numérique, l'étude des surfaces conduit Jordan à s'intéresser à ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie de la mesure (ensembles et fonctions mesurables) que développera Borel.

La mesure de Jordan pour une partie bornée A de R2 est une mesure de son aire, consistant à l'approcher extérieurement et intérieurement par des rectangles. Dans Rn, on parlerait de pavés et de volumes.

Si la mesure extérieure j+(A) coïncide avec sa mesure intérieure j-(A) sans dépendre des rectangles utilisés, la partie A est dite mesurable au sens de Jordan et on dit que A est j-mesurable en notant j(A) cette commune mesure. Cette définition n'est pas sans rappeler les sommes de Riemann d'une fonction positive (encadrement de l'aire sous la courbe par des rectangles).

Contre-exemple : Considérons dans R2, l'ensemble A des points M(x,y) à coordonnées rationnelles inclus dans le rectangle K = [a,b][c,d]. La mesure extérieure de A est celle de K : j+(A) = (b - a)(d - c).

Vu que les rationnels de A sont dénombrables, on peut les numéroter q1, q2, ... et considérer que A est la réunion de pavés Rn , rectangles réduits aux singletons {qn}. On a  j(Rn) = 0 pour tout n. Cette approche intérieure conduit donc à j-(A) = 0 distinct de  j+(A). A n'est donc pas j-mesurable.

Ce contre-exemple est à rapprocher de l'intégrale de la fonction caractéristique de Q sur un intervalle [a,b] : nulle au sens de Lebesgue, non définie au sens de Riemann.

On a les résultats suivants :

Les notions de mesure d'ensemble et d'intégrale sont étroitement liées. La mesure de Jordan, basée sur la notion élémentaire d'aire, s'avéra insuffisante pour mesurer des ensembles "pathologiques", comme les ensembles fractals. Plus gênant : une réunion dénombrable d'ensembles j-mesurables peut ne pas être j-mesurable. Ce constat conduisit aux travaux de Borel et à l'intégration au sens de Lebesgue.

Homomorphisme (ou simplement morphisme) de structure, automorphisme, isomorphisme :

On doit à Jordan le concept d'homomorphisme (du grec homoios = semblable et morphê = forme) entre deux structures algébriques :

Si (G,) et (H, ) sont deux magmas (ensembles munis d'une loi de composition interne), on dit qu'une application f de G dans H est un homomorphisme de (G,) dans (H, ) pour exprimer que :

(a,b)G x G : f(ab) = f(a) f(b)

Un homomorphisme bijectif est appelé isomorphisme, du grec isos = égal et morphê = forme. Lorsque H = G, un homomorphisme est appelé endomorphisme et s'il est bijectif, on parlera d'automorphisme.

En savoir plus sur les homomorphismes de structures algébriques :

Matrices de Jordan :

Ces matrices se rencontrent utilisées dans la triangulation des matrices carrées (certains disent trigonalisation) : mise sous forme triangulaire. Les éléments placé au-dessus de la diagonale (ou au-dessous) sont nuls. Dans 4(R), espace vectoriel des matrices carrées 44, elles sont de la forme :

 

Matrices et algèbre linéaire :          Théorème de Jordan :
 
Autres travaux :

Si f est une fonction 2π-périodique à variation bornée, alors la série de Fourier de f converge vers ½[f(x+) + f(x-)]

Notions sur les résidus et application au calcul d'une intégrale :


Meray   Gibbs
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