ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Ovales de Cassini

On donne dans un plan deux points F1 et F2. k désignant un nombre réel positif non nul, un ovale de Cassini est l'ensembles des points M du plan vérifiant :

MF1 MF2 = k2       

     

On pose F1F2 = 2a. L'équation cartésienne d'une telle courbe est obtenue en élevant au carré :

[(x + a)2 + y2] x [(x - a)2 + y2] = k4

Elle montre qu'un ovale de Cassini est une courbe algébrique de degré 4 : quartique. C'est une quartique bicirculaire puisque cette équation peut s'écrire :

(x2 + y2)2 + 2a2(y2 - x2) = k4 - a4

Mais une telle forme d'équation n'est guère pratique pour notre étude. Plaçons-nous en coordonnées polaires. Le pôle sera le milieu O de [F1F2]. L'axe polaire étant orienté en direction de F2.

On note M(r,t) un point du plan, t est exprimé en radians. Dans ces conditions, selon la formule d'Al Kashi :

Élevons au carré et reportons dans l'équation de définition. Une équation bicarrée en r conduit à :

Trois cas se présentent :     

 Si k < a, on obtient deux courbes fermées symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Ci-dessous : k < a : a = 3, k = 2. Les foyers sont en F1(-3;0) et F2(3;0).

Si a et k sont assez voisins, on obtient ceci (a = 3 et k = 2,97) :
 

 Si k = a, on obtient r2 = 0 pour tout t (que nous rejetons) ou bien r2 = 2a2cos 2t : c'est une lemniscate. Ci-dessous, k = a = 2 :

Lemniscate de Bernoulli : BernoulliJK.html#lemniscate

 Si k > a, la quantité sous le radical est toujours positive. On obtient un seul ovale dont l'équation se réduit à :

car la quantité conjuguée du second membre est alors négative. Ci-dessous : k > a : a = 2, k = 3. L'allure rappelle fortement une ellipse.

 Si k est "plus voisin" de a : a = 2, k = 5/2 , on obtient ceci :

Ovale de Descartes    Tore et ovales de Cassini :   Courbes cycliques :


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