Ovales de Cassini |
On donne dans un plan deux points F1 et F2. k désignant un nombre réel positif non nul, un ovale de Cassini est l'ensembles des points M du plan vérifiant :
On pose F1F2 = 2a. L'équation cartésienne d'une telle courbe est obtenue en élevant au carré :
Elle montre qu'un ovale de Cassini est une courbe algébrique de degré 4 : quartique. C'est une quartique bicirculaire puisque cette équation peut s'écrire :
Dans le cas où a = k (annulant le second membre), on retrouve la lemniscate de Bernoulli. Quelques ovales de Cassini connexes obtenus avec Graphmatica lorsque a = 1 : (x^2 + y^2)^2 - 2x^2 + 2y^2 = k
Mais une telle forme d'équation n'est guère pratique pour notre étude. Plaçons-nous en coordonnées polaires. Le pôle sera le milieu O de [F1F2]. L'axe polaire étant orienté en direction de F2.
On note M(r,t) un point du plan, t est exprimé en radians. Dans ces conditions, selon la formule d'Al Kashi :
Élevons au carré et reportons dans l'équation de définition. Une équation bicarrée en r conduit à :
Trois cas se présentent :
♦ Si k < a, on obtient deux courbes fermées symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Ci-dessous : k < a : a = 3, k = 2. Les foyers sont en F1(-3;0) et F2(3;0).
Si
a et k sont assez voisins, on obtient ceci (a = 3 et k = 2,97)
:
♦ Si k = a, on obtient r2 = 0 pour tout t (que nous rejetons) ou bien r2 = 2a2cos 2t : c'est une lemniscate. Ci-dessous, k = a = 2 :
Lemniscate de Bernoulli : »
♦ Si k > a, la quantité sous le radical est toujours positive. On obtient un seul ovale dont l'équation se réduit à :
car la quantité conjuguée du second membre est alors négative. Ci-dessous : k > a : a = 2, k = 3. L'allure rappelle fortement une ellipse.
➔ Si k est "plus voisin" de a : a = 2, k = 5/2 , on obtient ceci :
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