ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cubique d'Agnesi (Versiera, sorcière d'Agnesi)

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle de diamètre a, centré sur [Ox) et sa tangente en A(a,0). Une demi-droite d'origine O coupe le cercle en N et la tangente en T.

Lorsque la demi-droite [ON) pivote autour de O, N décrit le cercle; son abscisse x varie de 0 à a, et la versiera est l'ensemble des points M(x,y) où l'ordonnée y est celle de T. Ci-contre a = 3.

Équation cartésienne :    

Par raison de symétrie, on peut raisonner en termes de distances dans le premier quadrant.

 L'équation cartésienne du cercle est (x - a/2)2 + y2 = a2/4, qui se ramène à : y2 = ax - x2.

On a xM = xN et yM = yT. En remarquant l'égalité :

,

et en notant simplement x = xM et y = yM, on obtient xy = ayN. La symétrie par rapport à (Ox) permet d'élever au carré sans conditions :

x2y2 = a2x(a - x)

On remarque que la courbe ne contient aucun point d'abscisse nulle. L'équation se simplifie en

x(a2 + y2) = a3

La courbe peut être obtenue par les tracés de y = ± a(a/x - 1). En échangeant les rôles de x et y, la versiera s'obtiendra plus élégamment par le tracé de la courbe :

y = a3/(a2 + x2)

Équation paramétrique :    

Avec les notation précédentes et, en particulier M(x,y), en posant t = ^AON = ^AOT, le triangle AOT étant rectangle en A, on a AT = OAtan(t). Le cercle de diamètre [0A] a pour équation polaire r = acos(t). On a donc x = xN = acos2(t). D'où l'équation de la courbe en coordonnées paramétriques :

x = a.cos2(t) , y = a.tan(t) , t = ^AON variant dans [-π/2, +π/2]

Animation :    

= Génération de la versiera =
déplacer (pas "trop" vite) la demi-droite [OT); pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =


Dans cette représentation, on a échangé les rôles de x et y pour raison de commodité


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