ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cubique d'Agnesi (Versiera, sorcière d'Agnesi)

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle de diamètre a, centré sur [Ox) et sa tangente en A(a,0). Une demi-droite d'origine O coupe le cercle en N et la tangente en T.

Lorsque la demi-droite [ON) pivote autour de O, N décrit le cercle; son abscisse x varie de 0 à a, et la versiera est l'ensemble des points M(x,y) où l'ordonnée y est celle de T. Ci-contre a = 3.

Équation cartésienne :    

Par raison de symétrie, on peut raisonner en termes de distances dans le premier quadrant.

 L'équation cartésienne du cercle est (x - a/2)² + y² = a²/4, qui se ramène à : y² = ax - x².

On a x_M = x_N et y_M = y_T. En remarquant l'égalité :

,

et en notant simplement x = x_M et y = y_M, on obtient xy = ay_N. La symétrie par rapport à (Ox) permet d'élever au carré sans conditions :

x²y² = a²x(a - x)

On remarque que la courbe ne contient aucun point d'abscisse nulle. L'équation se simplifie en

x(a² + y²) = a³

Cette cubique peut être obtenue par les tracés de y = ± a√(a/x - 1). En échangeant les rôles de x et y, la versiera s'obtiendra plus élégamment par le tracé de la courbe :

Équation paramétrique :    

Avec les notation précédentes et, en particulier M(x,y), en posant θ = ^AON = ^AOT, le triangle AOT étant rectangle en A, on a AT = OA × tan(θ). Le cercle de diamètre [0A] a pour équation polaire r = a × cos(θ). On a donc x = x_N = a × cos²(θ). D'où l'équation de la courbe en coordonnées paramétriques :

On peut rendre cette paramétrisation rationnelle (courbe unicursale) en posant t = tan(θ/2) :

Ci-après, on a échangé les rôles de x et y afin d'obtenir une courbe dans le cadre "horizontal" de la page (avec a = 3) :

Animation :     

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Dans cette représentation, on a échangé les rôles de x et y pour raison de commodité
déplacer (pas "trop" vite) la demi-droite [OT); pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure