ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'ellipse Définitions Comme section conique Monofocale Bifocale Courbes de d°2 Par affinité Par cercle directeur Équations Équation cartésienne Équation polaire Équation paramétrique rapportée à un sommet Autres sujets Applications Paramètres usuels Tangentes Longueur Cas du cercle Parallèles de l'ellipse Théorèmes de Poncelet

• Nom de la courbe : ellipse.
• Etymologie : adjectif grec ellipsis = déficient, défectueux. Cette déficience est liée à son excentricité e < 1.  Celle de hyperbole est supérieure à 1. En grec, hyperballein = excéder, dépasser. Ainsi ellipse apparaît antinomique à hyperbole. Ces termes sont d'Apollonius de Perge. Depuis Kepler, le mot ellipse (ellipsis en latin et grec) devient un substantif pour désigner ladite courbe, mais Désargues préféra des dénominations plus à la française... :

» Hyperbole            Justification étymologique par l'équation rapportée à un sommet : »

» Remarquer le lien littéraire : ellipse désigne une syntaxe omettant un mot ou un verbe, hyperbole un style emphatique, excessif, parabole exprime une manière détournée (du grec para = à côté) et/ou allégorique. Noter par ailleurs qu'il y a souvent confusion entre ovale et ellipse. » Ovale.

1. En tant que section particulière d'un plan et d'un cône : 

L'ellipse est une des trois coniques (avec la parabole, et l'hyperbole dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier) découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu'intersection d'un cône par un plan (du grec kônos).

2. Une définition monofocale :   

Au moyen d'un foyer F et d'une droite Δ dite directrice  : l'ellipse est l'ensemble des points tels que MF/MH = e avec e < 1 (ci-dessous e = 1/2).

  » Dioclès, Pappus, Kepler

Le nombre e est l'excentricité de l'ellipse. Avec e > 1, nous aurions une hyperbole; avec e = 1, nous aurions une parabole. Avec les notations du §1 ci-dessus, on a :

L'étude géométrique fait alors apparaître la présence d'un centre de symétrie Ω et, par là, celles d'un second foyer F' et d'une seconde directrice Δ' :

Étude de l'ensemble des points M tels que MF/MH = e : »

L'ellipse est une perspective de cercle : concrètement, on l'obtient en projetant obliquement le halo d'un abat-jour d'une lampe de chevet (allumée de préférence...) sur un mur. Indépendamment des coniques, l'ellipse peut être ainsi définie (Apollonius) en tant qu'ensemble de points (lieu géométrique) :

3. Définition bifocale :   

Étant donnés deux points F et F', appelés foyers (terme dû à Kepler), posons FF' = 2c et soit a > c. L'ensemble des point M du plan tels que :

MF + MF' = 2a 

est une ellipse de grand axe 2a (axe focal) et de petit axe 2b avec a² = b² + c² : elle s'inscrit dans un rectangle de longueur AA' = 2a, de largeur BB' = 2b.

• e = c/a , b²/a² = 1 - e²  (obtenu en élevant au carré) , a² = b² + c²

• p = e × KF, paramètre de l'ellipse, ΩK = a²/c  (obtenu en utilisant que A est un point de l'ellipse).

 ➔  Afin d'éviter de s'arracher les cheveux en tentant de retrouver l'équation cartésienne de l'ellipse à partir de MF + MF' = 2a, on aura tout intérêt à faire le contraire : étudier l'ellipse au moyen de sa définition par foyer et directrice et d'en déduire cette relation.

»  Ellipse du jardinier : si on tend une ficelle de longueur 2a attachée à ses extrémités en A et B, on décrit en se déplaçant, une ellipse de foyers A et B : c'est la technique utilisée par les jardiniers.

La définition bifocale de l'ellipse peut s'interpréter comme conséquence de sa génération au moyen d'un cercle directeur :

4. Définition de l'ellipse au moyen d'un point fixe et d'un cercle directeur :   

L'ellipse est l'ensemble des centres M des cercles passant par un point fixe F, appelé foyer, et tangents intérieurement à un cercle fixe (c), dit cercle directeur dont le centre F' est appelé second foyer.

 !   Ne pas confondre cercle directeur et cercle principal défini ci-dessous. A distinguer également du cercle de Monge d'où l'on voit l'ellipse sous un angle droit.

Notons 2a le rayon de (c) et soit P un point de ce cercle. L'ensemble existe si et seulement si F est intérieur à (c), soit si FF' < 2a et un point M de l'ensemble est obtenu en coupant [F'P] par la médiatrice de [FP]. On a alors MF + MF' = PM + MF' = PF' = 2a. On retrouve la définition de l'ellipse sous sa forme bifocale.

La symétrie de la relation MF + MF' = 2a montre que l'on peut parler de cercle directeur associé au second foyer (échange des rôles).

 ➔  A noter que le cercle directeur associé à un foyer est l'ensemble des symétriques du second foyer par rapport aux tangentes à l'ellipse :

5. Une définition comme courbe transformée d'un cercle par affinité orthogonale :  

à tout point M du cercle ci-dessous, de diamètre (d), associons le point M' tel que HM'/HM = k < 1 lorsque H désigne la projection orthogonale de M sur (d) :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Ci-dessous affinités d'axe (p) de rapport k = 1/2 et d'axe (p') de rapport 2. Vous pouvez déplacer M ou M'

 ➔  D et Δ désignant deux droites de directions distinctes, et k un nombre (réel) non nul, rappelons que l'on appelle affinité d'axe (ou de base) D, de direction Δ, de rapport k, l'application qui à tout point M du plan associe le point M' tel que MM' = k.MH (la notation en gras italique exprimant un vecteur).

Le schéma ci-contre illustre la définition dans le cas 0 < k < 1. Lorsque D et Δ sont perpendiculaires, on parle d'affinité orthogonale.

Avec les notations des §1 et 2 ci-dessus, k = b/a, soit k² = 1 - e². Le cercle ci-dessus est le cercle principal de l'ellipse (même centre, de rayon a = demi-grand axe). Dans le repère orthonormé d'origine O, l'affinité transformant le cercle principal en l'ellipse a pour équation x' = x, y' = by/a.

On peut aussi considérer le cercle de centre O, de rayon b, dit cercle secondaire,  et l'affinité de rapport a/b d'axe (p') : elle transforme le cercle en l'ellipse. Dans le repère orthonormé d'origine O, cette affinité a pour équation x' = ax/b, y' = y.

La longueur du cercle est bien connue dès le collège. On pourrait croire que passer d'un cercle à une ellipse par une simple affinité permettrait le calcul de sa longueur. Il n'en est hélas rien ! D'où le difficile problème du calcul des intégrales elliptiques :

6. Une définition paramétrique :   

En prenant comme origine des axes le centre de l'ellipse (et donc du cercle principal) et (d) comme axe des abscisses, on obtient immédiatement, avec t = ^(Ox,OM) et eu égard à l'affinité constatée au §5 ci-dessus :

x = a.cos t , y = b.sin t         t ∈[0,2π]          » Équation paramétrique

8. Une définition en coordonnées polaires :              » La notion de coordonnées polaires

♦ Applications :    

• en astronomie, on sait depuis Kepler que les trajectoires des planètes, des satellites (artificiels ou non) et de la majorité des comètes connues sont elliptiques. La célèbre comète de l'astronome anglais Edmond Halley vient nous rendre visite périodiquement (tous les 76 ans). On pourra en lire la saga sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/1P/Halley.

• en microphysique (mécanique des particules); en acoustique (conques sonores); dans les parcs et jardins (massifs);

• dans la construction des arches de pont, de tunnels, de baies et de frontons.

• dans la courbure de certains barrages.  » parabole

• en architecture : Le Colisée de Rome, en latin colosseum = très grand, amphithéâtre construit par Vespasien et Titus (en grec amphiteatron = autour du théâtre), servit de cirque (célèbres jeux du cirque et de combats de gladiateurs) :

Le Colisée, Rome

Il n'est cependant pas circulaire : c'est une ellipse de grand axe 187 m, de petit axe 155 m. L'arène (piste où se déroulaient les jeux) est elliptique de 85 m sur 53.

En France, les Arènes de Nîmes sont aussi de forme elliptique, de dimensions extérieures 133m (grand axe) et 101 m (petit axe) :

Arènes de Nîmes, vues par Google Earth

Le cercle en tant que cas particulier de conique

♦ Nom de la courbe : cercle

♦ Etymologie : du latin circulus = cercle, circus = cirque, circum = autour. Le moyen âge a donné circuler pour se mouvoir, se déplacer autour (circulation du sang, puis des véhicules...).

♦Applications : immenses et bien connues depuis l'invention de la roue.

♦Définitions possibles :

♦  Depuis Euclide, un cercle est l'ensemble des points d'un plan situés à égale distance d'un point donné appelé centre (du grec kentron, puis du latin centrum).

♦  L'ensemble des points M dont la somme des carrés des distances à deux points fixes A et B est constante est un cercle centré au milieu O de [AB].

Il suffit pour s'en convaincre d'appliquer le théorème de la médiane.

♦  Le cercle peut être considéré comme une conique particulière section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base. Analytiquement, à partir de l'équation générale des ellipses sous la forme réduite x²/a² + y²/b² = 1 avec l'origine O du repère comme centre, le cercle apparaît lorsque a = b :

• M décrit le cercle de centre O, de rayon a  ⇔ x² + y² = a². Ci-contre à droite, cercle de centre 0, de rayon 3/2.

 ➔  Plus généralement, M décrira un cercle de centre C(u,v), de rayon a si CM = a donc si (x - u)² + (y - v)² = a².
Cette équation est généralement apprise au lycée sous la forme :

(x - a)² + (y - b)² = r²       ou bien  : x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Dns le second cas, on a nécessairement r² = a² + b² - c : ce nombre doit être positif.

• L'équation x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0 n'est pas celle d'un cercle car cela revient à écrire : (x - 1) + (y + 2) = - 1.

En appliquant la relation a² = b² + c², avec a = b, il suit que c = 0 : les foyers se réduisent à l'origine. On peut parler d'ellipse dégénérée. C'est quasiment le cas de l'orbite terrestre vu que l'excentricité est e = c/a : lorsque c est très petit devant a, e l'est aussi. Un cercle apparaît donc comme une ellipse d'excentricité nulle. On comprend pourquoi, dans l'étude des orbites planétaires, les astronomes de l'Antiquité sont passés à côté de la plaque vérité... :