ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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La strophoïde         »  Voir l'animation | » Version  exercice et aire de la boucle

Cette courbe fut étudiée par Roberval sous le nom de ptéroïde (du grec pteron = aile et  eidos = apparence, forme). Son nom actuel provient également du grec : strophon = lacet.

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy), considérons un point A(-a,0) et un point B variable sur l'axe des ordonnées.

Pour chaque point B plaçons les points M et M' sur (AB) de sorte que BM = BM' = OB : B est le milieu du segment [MN] de longueur 2OB.

Étudions, en coordonnées polaires, l'ensemble des points M(t,r) en posant ^(Ox,OM) = t et r = OM (mesure algébrique). On a ^BOM = ^BMO^= π/2 - t. Or, dans un triangle ABC, de côtés a = BC, b = AC, c = AB, on a la formule des sinus :

a/sin^A = b/sin^B = c/sin^C

Par suite, dans le triangle AOM, on a la relation :

OM/sin^A = a/sin(π/2 - t) = a/cos t

Or, dans ce triangle :

^A = π - (π - t) - (π/2 - t) = 2t - π/2

donc : sin^A = - cos(2t). L'équation polaire de la courbe décrite par M est ainsi :

On peut passer en coordonnées paramétriques :

x = cos(2t)  , y = cos(2t)tan(t)

Si l'on trace la courbe pour t variant de 0 à 2π, la courbe obtenue, présente une boucle. Concrètement, cette boucle est l'ensemble des points M'. Ils vérifient la même équation que l'ensemble des points M.

La strophoïde admet deux tangentes perpendiculaires en O (bissectrices des axes). La droite d'équation x = a est asymptote à la courbe. La strophoïde est anallagmatique : elle est globalement invariante par inversion de pôle A, de rapport a2 : un petit calcul montre en effet que AM = a.tan t et AM' = a/tan t, donc :

AM × AM' = a2

Équation implicite en tant que courbe algébrique :    

 ➔   La strophoïde est une cubique (courbe algébrique de degré 3) : pour obtenir l'équation cartésienne, on remarque que x = r.cos t. Or cos 2t = cos2t - sin2t = x2/r2 - y2/r2. En remplaçant dans l'équation polaire, et vu que x2 + y2 = r2, on obtient l'équation implicite :

x(x2 + y2) - a(y2 - x2) = 0

équivalente à :

Génération :    

La strophoïde est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


 Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez déplacer B afin d'étudier le lieu manuellement et agrandir/réduire en déplaçant le point A
Dans cette animation, la boucle ne se referme pas en A, on comprendra aisément pourquoi.
 Pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure.  » barre d'outils de CabriJava

Trisectrice de Maclaurin :  »

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