ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cuve à base carrée de volume maximal       Outil : dérivation    niveau première   
   
Autres cas , cuves cylindriques

On se propose de montrer que le contenu d'une cuve à ciel ouvert (sans couvercle), fabriquée par pliage et découpage d'une plaque métallique, peut être rendu maximal à condition de choisir convenablement les coupes (choix de x).

On possède une plaque de métal carrée de 3 m de côté. En découpant les plaques carrées hachurées et en pliant les bords saillants obtenus, on obtient une cuve dont la forme est un parallélépipède droit.

Quelle est la valeur de x assurant un volume maximal ?


 On montrera que le volume V de la cuve s'exprime par :

V(x) = x(3 - 2x)2

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cuve de volume maximal  à base carrée        Indications pour la solution

V'(x) = (3 - 2x)2 - 4x(3 - 2x) = (3 - 2x)(3 - 6x) = 3(3 - 2x)(1 - 2x), du signe de 1 - 2x car 3 - 2x > 0 puis que x < 3/2

Le volume maximal est de 2 m3 pour x = 50 cm.

 Prolongement :  Vérifier que l'on pouvait obtenir un tel volume en utilisant tout le matériau (ce qui n'optimise pas le coût !) : base carrée de 1 m x 1 m de hauteur 2 m.


© Serge Mehl - www.chronomath.com