ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Cuve à base
carrée de volume
maximal Outil :
dérivation
niveau première
Autres cas , cuves cylindriques |
On
se propose de montrer que le contenu d'une cuve à ciel ouvert (sans couvercle),
fabriquée par pliage et découpage d'une plaque métallique, peut être rendu
maximal à condition de choisir convenablement les coupes (choix de x).
On possède une plaque de métal carrée de 3 m de côté. En découpant les plaques
carrées hachurées et en pliant les bords saillants obtenus, on obtient une cuve
dont la forme est un parallélépipède droit.
Quelle est la valeur de x assurant un volume maximal ?
On
montrera que le volume V de la cuve s'exprime par :
Si vous séchez après avoir bien cherché :
|
Cuve de volume maximal à base carrée Indications pour la solution |
L'ensemble de définition de V est l'intervalle [0,3/2]
V est dérivable sur J en tant que fonction polynômiale et :
V'(x) = (3 - 2x)2 - 4x(3 - 2x) = (3 - 2x)(3 - 6x) = 3(3 - 2x)(1 - 2x), du signe de 1 - 2x car 3 - 2x > 0 puis que x < 3/2
On obtient cette jolie cubique, courbe algébrique du 3ème degré :
Le volume maximal est de 2 m3 pour x = 50 cm.
Prolongement
:
Vérifier que l'on
pouvait obtenir un tel volume en utilisant tout le matériau
(ce qui n'optimise pas le coût !) :
base carrée de 1
m x
1 m de hauteur 2 m.