ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cuve à base carrée de volume maximal       niveau 1ère  
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 cas d'une base carrée
, cas cylindrique  |  » Recherche d'un volume maximal

On se propose de montrer que le contenu d'une cuve à ciel ouvert (sans couvercle), fabriquée par pliage et découpage d'une plaque métallique, peut être rendu maximal à condition de choisir convenablement les coupes (choix de x).

On possède une plaque de métal carrée de 3 m de côté. En découpant les plaques carrées hachurées et en pliant les bords saillants obtenus, on obtient une cuve dont la forme est un parallélépipède droit.

Quelle est la valeur de x assurant un volume maximal ?

   On montrera tout d'abord que le volume V de la cuve s'exprime en fonction de x par :

V(x) = x(3 - 2x)2

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indications pour la solution :

Le côté de la base carrée mesure 3 - 2x. La hauteur de la cuve est x. Son volume est donc x(3 - 2x)2.

V'(x) = (3 - 2x)2 - 4x(3 - 2x) = (3 - 2x)(3 - 6x) = 3(3 - 2x)(1 - 2x), du signe de 1 - 2x car 3 - 2x > 0 puis que x < 3/2.

Le volume maximal est de 2 m3 pour x = 50 cm.

   Prolongement :  Vérifier que l'on pouvait obtenir un tel volume en utilisant tout le matériau (ce qui n'optimise pas le coût !) : base carrée de 1 m x 1 m de hauteur 2 m.


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