ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Courbes de Lamé

On appelle ainsi les courbes, étudiées par le mathématicien et physicien français Gabriel Lamé, dont l'équation générale est généralement donnée sous la forme :

(x/a)n ± (y/b)n = 1        n > 0 , a et b  non nuls

En dehors de l'ellipse et de l'hyperbole (n = 2), cette équation renferme un grand nombre de courbes diverses dont quelques grands classiques. A l'exception du cas donné in fine correspondant à la développée de l'hyperbole, nous nous en tiendrons à la forme étudiée par Lamé :

(x/a)n + (y/b)n = 1 (a, n et b positifs)

et au cas élargi des superellipses.

• Cas n = 3, a = b : l'équation est alors x3 + y3 = a3. On peut l'étudier sous la forme :

y = (a3 - x3)

La puissance 1/3 signifiera ici racine cubique : on prolonge sa définition aux nombres négatifs par :
si x < 0 , x1/3 = -|x|1/3. Ainsi, on peut écrire y = (a3 - x3)1/3 pour tout x et y' = -x2/(a3 - x3)2/3 < 0.

On obtient la courbe ci-dessous (en vert) pour a = 4. La limite à l'infini de y/x est 1 et la limite de y + x est zéro : la seconde bissectrice du repère est asymptote oblique à la courbe à l'infini (+ et -).

• Cas n = 3, a = 3, b = 2 : l'équation est alors x3/27 + y3/8 = 1. On peut l'étudier sous la forme :

y = 2(1 - x3/27)1/3

Une étude analogue conduit à la courbe ci-dessous (en bleu). Ici encore, nous avons une asymptote oblique à l'infini : y = -2x/3. C'est une cubique :
 

Courbes algébriques :

• Cas n = 4, a = 2, b = 1 : l'équation est alors x4/16 + y4 = 1. On peut l'étudier sous la forme :

y = ±(1 - x4/16)1/4 sur l'intervalle [-2;+2]     (en rose)

• Cas n = 4, a = 5 : l'équation est alors x4 + y4 = 625. On peut l'étudier sous la forme :

y = ±(625 - x4)1/4 sur l'intervalle [-5;+5]    (en gris)

• Cas n = 2/3, a = b = 2 : on a :(x/2)2/3 + (y/2)2/3 = 1. Les coordonnées x et y sont ici bornées. On peut étudier la courbe sous la forme :

y = ±(22/3 - x2/3)3/2   avec x variant dans [-2;+2]

On peut aussi poser x = 2cos3t , y = 2sin3t. On reconnaît l'astroïde et son équation.

• Cas n = 2/3, a = 3 ; b = 2 : en posant x = 3cos3t , y = 2sin3t , on obtient un astroïde "écrasé", courbe quadricuspide ou tetracuspide (du latin quadri, resp. du grec tetra, préfixe signifiant quatre et cuspis = pointe) par affinité orthogonale :

développée de l'ellipse :

• Cas n = 1/3, a = b = 2 : on a :(x/2)1/3 + (y/2)1/3 = 1. On peut étudier la courbe sous la forme :

y = (21/3 - x1/3)3

On a y' = -3(21/3 - x1/3)2/x2/3 < 0. On obtient la courbe ci-dessous où la partie sur fond de quadrillage gris est un "zoom" de la courbe en question.
 


 
• Cas n = 2/3, a = -b = 1 : on a : x2/3 - y2/3 = 1. On peut étudier la courbe sous la forme :

y = ±(x2/3 - 1)3/2

Développée de l'hyperbole :

Les superellipses :

Ce sont des courbes de Lamé sous la condition n > 2 (l'ellipse correspond à n = 2) et définies par (pour obtenir une courbe fermée) :

|x/a|n + |y/b|n = 1

Les cas gris et rose ci-dessus sont des superellipses.

Ci-dessous, le cas n = 5/2, a = 3 et b = 2 : (x/3)5/2 + (y/2)5/2 = 1. Soit y = ±2(1 - (x/3)5/2)2/5 lorsque x varie de -3 à +3. Une étude élémentaire conduit à cette super(be)ellipse...

 Remarquons que x et y étant bornées, ces courbes peuvent être paramétrées en posant dans le premier quadrant :

x = a.cos2/nt , y = b.sin2/nt

Les 3 autres arcs s'obtiennent par raison de symétrie. On remarquera l'analogie avec l'arche dite en anse de panier : cette forme « superelliptique » correspond, en architecture, à une voûte surbaissée.


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