ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbes de Lamé

On appelle ainsi les courbes, étudiées par le mathématicien et physicien français Gabriel Lamé, dont l'équation générale est généralement donnée sous la forme :

En dehors de l'ellipse et de l'hyperbole (n = 2), cette équation renferme un grand nombre de courbes diverses dont quelques grands classiques. A l'exception du cas donné in fine correspondant à la développée de l'hyperbole, nous nous en tiendrons à la forme étudiée par Lamé :

et au cas élargi des superellipses.

♦ Cas n = 3, a = b : l'équation est alors x³ + y³ = a³. On peut l'étudier sous la forme :

y = ³√(a³ - x³)

La puissance 1/3 signifiera ici racine cubique : on prolonge sa définition aux nombres négatifs par :
si x < 0 , x^1/3 = -|x|^1/3. Ainsi, on peut écrire y = (a³ - x³)^1/3 pour tout x et y' = -x²/(a³ - x³)^2/3 < 0.

On obtient la courbe ci-dessous (en vert) pour a = 4. La limite à l'infini de y/x est 1 et la limite de y + x est zéro : la seconde bissectrice du repère est asymptote oblique à la courbe à l'infini (+ et -).

♦ Cas n = 3, a = 3, b = 2 : l'équation est alors x³/27 + y³/8 = 1. On peut l'étudier sous la forme :

y = 2(1 - x³/27)^1/3

Une étude analogue conduit à la courbe ci-dessous (en bleu). Ici encore, nous avons une asymptote oblique à l'infini : y = -2x/3. C'est une cubique :
 

♦ Cas n = 4, a = 2, b = 1 : l'équation est alors x⁴/16 + y⁴ = 1. On peut l'étudier sous la forme :

y = ±(1 - x⁴/16)^1/4 sur l'intervalle [-2;+2]     (en rose)

♦ Cas n = 4, a = 5 : l'équation est alors x⁴ + y⁴ = 625. On peut l'étudier sous la forme :

y = ±(625 - x⁴)^1/4 sur l'intervalle [-5;+5]    (en gris)

♦ Cas n = 2/3, a = b = 2 : on a :(x/2)^2/3 + (y/2)^2/3 = 1. Les coordonnées x et y sont ici bornées. On peut étudier la courbe sous la forme :

y = ±(2^2/3 - x^2/3)^3/2   avec x variant dans [-2;+2]

On peut aussi poser x = 2cos³t , y = 2sin³t. On reconnaît l'astroïde et son équation.

♦ Cas n = 2/3, a = 3 ; b = 2 : en posant x = 3cos³t , y = 2sin³t , on obtient un astroïde "écrasé", courbe quadricuspide ou tetracuspide (du latin quadri, resp. du grec tetra, préfixe signifiant quatre et cuspis = pointe) par affinité orthogonale :

développée de l'ellipse : »

♦ Cas n = 1/3, a = b = 2 : on a :(x/2)^1/3 + (y/2)^1/3 = 1. On peut étudier la courbe sous la forme :

y = (2^1/3 - x^1/3)³

On a y' = -3(2^1/3 - x^1/3)²/x^2/3 < 0. On obtient la courbe ci-dessous où la partie sur fond de quadrillage gris est un "zoom" de la courbe en question.
 

 

y = ±(x^2/3 - ¹)^3/2

Développée de l'hyperbole : »

Ce sont des courbes de Lamé sous la condition n > 2 (l'ellipse correspond à n = 2) et définies par (pour obtenir une courbe fermée) :

Les cas gris et rose ci-dessus sont des superellipses.

Ci-dessous, le cas n = 5/2, a = 3 et b = 2 : (x/3)^5/2 + (y/2)^5/2 = 1. Soit y = ±2(1 - (x/3)^5/2)^2/5 lorsque x varie de -3 à +3. Une étude élémentaire conduit à cette super(be)ellipse...

 ➔   Remarquons que x et y étant bornées, ces courbes peuvent être paramétrées en posant dans le premier quadrant :

Les 3 autres arcs s'obtiennent par raison de symétrie. On remarquera l'analogie avec l'arche dite en anse de panier : cette forme « superelliptique » correspond, en architecture, à une voûte surbaissée.