ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonction tangente (d'un angle ou de sa mesure)              »  Cotangente , sinus , cosinus , sécante & cosécante           Arc sinus & Arc cosinus , Arc tangente & Arc cotangente           Sinus & cosinus hyperboliques , tangente & cotangente hyperboliques

• Nom de la fonction : tangente, en abrégé tan (autrefois, en France :  tg)  » Girard.
• Étymologie : du latin tangere, tangentis = toucher.
• Origine : Abu al-Wafa
• Ensemble de définition : R - {π/2 + kπ, k∈Z}
• Périodique : oui, période : π     » la notion de période
• Fonction impaire = tan(-x) = - tan(x).
• Fonction dérivée : 1 + tan²x  ou encore : 1/cos²x
• Primitive : ln|1/cos x| + k
• Nom de la courbe associée : ///
• Développement en série :  »  développements limités usuels

• tan(x) = sin(x)/cos(x)
  

• Plus géométriquement, dans un repère orthonormé (O,I,J) orienté par le sens trigonométrique usuel (sens inverse des aiguilles d'une montre) , soit M un point en rotation sur un cercle centré en O, de rayon 1 (cercle trigonométrique). Avec ces notations, la tangente de l'angle x est la mesure algébrique IT du segment de tangente en I sur le schéma coupant [OM) en T :

Cette définition au moyen du cercle trigonométrique confère à la fonction tan le nom de fonction circulaire, au nombre de trois avec sinus et cosinus, voire quatre si on tient compte de la cotangente cotan(x) = 1/tan(x).

» En application du théorème de Thalès, on a AT/HM = OA/OH. Or OA = 1, HM = sin(x) et OH = cos(x) : on retrouve la définition bien connue : tan(x) = sin(x)/cos(x).

• Dans un triangle ABC rectangle en A, la tangente d'un angle aigu (^B ou ^C) est égal au quotient (des mesures) du côté opposé par le côté adjacent. Par exemple, tan^B = AC/AB.
  On peut écrire AC/AB = AC/BC × BC/AB = (AC/BC)/(AB/BC) : on retrouve tan(^B) = sin^B/cos^B.

 !   Cette remarque ne doit pas inciter le lecteur à utiliser ces mesures car dans le cas d'un angle obtus, on perd l'information du signe. Concernant la tangente, [IT) est une demi-droite orientée, parallèle à (y'y). Par exemple, si x = 2π/3 (120°), on aura tan(x) = IT < 0 car [OM) coupe la tangente en I "sous" l'axe des abscisses et [IT) a alors même sens que (Oy').

Lorsque x (exprimé en radians) tend vers π/2 (soit 90°), IT devient infini, ce qui explique la présence d'un asymptote verticale en ce point pour la courbe représentative de la fonction tan.

Sur le graphique, l'axe des abscisses porte la mesure, en radians de l'angle (OA,OM). Les asymptotes verticales apparaissent lorsque cos x = 0, donc en x =  π/2 + kπ, k ∈ Z, soit  : x = ± π/2, ± 3π/2, ± π/2...

Par application du théorème de Thalès dans le triangle OAT, il apparaît que HM / AT = OH / OA. Mais OA = 1, OH = cos(x) et HM = sin(x). D'où la définition donnée en 1°.

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Déplacer le point P : la courbe tangente x → tan(x) apparaît en rouge

•       » preuve           • 

•  Concernant les tangentes des angles π/5 (36°) , 2π/5, π/10 (18°), 3π/10  » pentagone et décagone réguliers

•  Concernant la tangente de π/12 (15°)  » cliquez-moi

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Trois carrés identiques, trois angles. Montrer que â + ô = ê.

Si on pose t = tan(x/2), on a 1 + t² = 1 + sin²(x/2)/cos²(x/2) = 1/cos²(x/2) et tan(x) = tan(2 × x/2). On vérifiera alors aisément les formules suivantes permettant l'usage d'expressions rationnelles, tout particulièrement en calcul intégral :

La fonction Arc tangente, réciproque de tan sur l'intervalle ]-π/2,π/2[ : »