ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonction tangente (d'un angle ou de sa mesure)       
   
 
 cotangente , sinus , cosinus , sécante & cosécante , sinus & cosinus hyperboliques , tangente & cotangente hyperboliques
Définitions possibles :

Cette définition au moyen du cercle trigonométrique confère à la fonction tan le nom de fonction circulaire, au nombre de trois avec sinus et cosinus, voire quatre si on tient compte de la cotangente cotan(x) = 1/tan(x).

  En application du théorème de Thalès, on a
AT/HM = OA/OH. Or OA = 1, HM = sin(x) et OH = cos(x) : on retrouve la définition bien connue : tan(x) = sin(x)/cos(x).

Remarque :    

Sur la figure ci-dessous, complétée de la précédente, les segments de tangente [IT] et [ML] ont même mesure (il est facile de prouver cela en considérant les triangles rectangles OIT et OML). Par conséquent, dans le cas de l'angle aigu, on retrouve tan(x) en ML. On retrouve de même cotan(x) en MN.

  Cette remarque ne doit pas inciter le lecteur à utiliser ces mesures car dans le cas d'un angle obtus, on perd l'information du signe. Concernant la tangente, [IT) est une demi-droite orientée, parallèle à (y'y). Par exemple, si x = 2π/3 (120°), on aura tan(x) = IT < 0 car [OM) coupe la tangente en I "sous" l'axe des abscisses et [IT) a alors même sens que (Oy').

Représentation graphique :

Lorsque x (exprimé en radians) tend vers π/2 (soit 90°), IT devient infini, ce qui explique la présence d'un asymptote verticale en ce point pour la courbe représentative de la fonction tan.

Sur le graphique, l'axe des abscisses porte la mesure, en radians de l'angle (OA,OM). Les asymptotes verticales apparaissent lorsque cos x = 0, donc en x =  π/2 + kπ, k Z, soit  : x = ± π/2, ± 3π/2, ± π/2...

Par application du théorème de Thalès dans le triangle OAT, il apparaît que HM / AT = OH / OA. Mais OA = 1, OH = cos(x) et HM = sin(x). D'où la définition donnée en 1°.

Déplacer le point P : la courbe tangente apparaît en rouge

Applications :

La tangente est apparue chez les mathématiciens hindoues et transmise aux Arabes. C'est à Abu al Wafa que l'on doit la définition actuelle. Elle apparaît, en particulier, de façon naturelle dans tous les calculs d'atelier (construction, tournage, fraisage, engrenages, ...) où la trigonométrie (au sens premier mesure des angles d'un triangle) intervient.

Formules élémentaires, valeurs remarquables :

                      

                 

       preuve            

 tan a = tan b a = b + kπ, kZ  

 tan(-a) = - tan a      tan(a + π) = tan a      tan(π - x) = - tan(x)

 tan(π/6) = 1/3 = 3/3 , tan(π/4) = 1 , tan(π/3) = 3 ,  tan(2π/3) = - 3

  Concernant les tangentes des angles π/5 (36°) , 2π/5, π/10 (18°), 3π/10 :   pentagone et décagone réguliers

  Concernant la tangente de π/12 (15°) :   cliquez-moi

 



Trois carrés identiques, trois angles. Montrer que â + ô = ê.

Autres formules pratiques :

La fonction Arc tangente, réciproque de tan sur l'intervalle ]-π/2,π/2[ :

 

1   Dans un repère orthonormé, dessiner le cercle (c) de centre I(2,1) de rayon 1 et le cercle (c') de centre J(6,2) de rayon 2. On note (T) la droite tangente à (c) et (c') autre que (x'x). Calculer au moyen de votre calculatrice la valeur exacte du coefficient directeur de (T) sachant que celui-ci est un rationnel simple. On rappelle que le coefficient directeur d'une droite d est la tangente de l'angle (Ox,d).

 2   a) Donner le développement (1 + 3)2
       
b) Résoudre l'équation  : 4sin2x + 2(1 - 3)sin x - 3 = 0

 3   L'objectif est de résoudre l'équation (e) : 2cos 2x  + sin 2x - 2cos2x = 0      (Dakar, ex. bac 1ère CE 1982)

    a) Vérifier que x = π/2 + kπ, k entier, n'est pas solution de l'équation.
    b) En remarquant que π/4 est le double de π/8 et en utilisant les formules de duplication du
sinus et du cosinus, montrer
        que tan π/8 = 2 - 1.
    c) Montrer que l'équation (e) se ramène à : (2 - 2)cos2x - 2sin2x + 2sin x.cos x = 0. Poser alors X = tan x et prouver
        que X = 1 ou X = 2 - 1.
    d) Déduire des questions précédentes que les solutions de l'équation (1) sont, à kπ près, π/4 et π/8.

 4    Charpente métallique            5    Hauteur d'un immeuble


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