ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LAGUERRE Edmond Nicolas, français, 1834-1886

Officier d’artillerie, polytechnicien, il enseigna à l’École polytechnique. Ses travaux portent sur la géométrie projective (géométrie et transformations de Laguerre), les formes quadratiques, les fractions continues, les systèmes linéaires et la résolution des équations numériques. Il succéda à Serret à l'Académie des sciences (1885).

Théorème de Laguerre :

Si P(x) = aixi est un polynôme de degré n possédant n racines réelles, ses racines sont toutes contenues dans l'intervalle [u,v] où les réels u et v sont les solutions de l'équation :

nx2 + 2an-1x + [ 2(n - 1)an-2- (n - 2)a2n-1] = 0

Polynômes orthogonaux de Laguerre :

Il s'agit, à l'instar des polynômes de Tchebychev ou de Legendre, d'un système de polynômes Ln de degré n, orthogonaux pour le produit scalaire de densité x e-x :

Sous la condition le coefficient xn est (-1)n/n! , Ils vérifient l'équation différentielle :

xL"n + (1 - x)L'n + nLn = 0

et les récurrences :

On peut donner une définition plus générale au moyen de la densité x xαe-x, α entier. La récurrence est alors :

Polynômes orthogonaux :

Les polynômes de Laguerre sont obtenus par le développement en série de la fonction ci-dessous, dite génératrice :

Leur norme pour le produit scalaire ci-dessus est || Ln || = n! (factorielle n). Les premiers polynômes de Laguerre sont :

Dans l'espace de Hilbert L2(R+), des fonction de carré intégrable pour la mesure de Lebesgue, les polynômes :

constituent une base orthonormale (pour le produit scalaire défini plus haut).

 Hilbert                  Lebesgue et les espaces Lp :


Fuchs  Venn
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