ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LAGUERRE Edmond Nicolas, français, 1834-1886

Officier d’artillerie, polytechnicien, Edmond Laguerre enseigna à l’École polytechnique. Ses travaux portent sur la géométrie projective (géométrie et transformations de Laguerre) où il introduit les nombres imaginaires (dont le concept d'ombilic du plan et de droite isotrope, réf.1, courbe algébrique), l'étude des surfaces et des courbes planes et gauches, les formes quadratiques, les approximations au moyen des fractions continues, les systèmes linéaires et la résolution des équations numériques.

Un an avant sa mort prématurée, Laguerre succéda (1885) à Joseph Serret à l'Académie des sciences. On pourra consulter in fine une remarquable synthèse des travaux de Laguerre par Eugène Rouché en lien avec ceux des mathématiciens géomètres de son époque (Poncelet, Darboux, Steiner, Clebsch, Halphen, ...).

Polynômes orthogonaux de Laguerre :

Il s'agit, à l'instar des polynômes de Tchebychev ou de Legendre, d'un système de polynômes Ln de degré n, orthogonaux pour le produit scalaire de densité x e-x :

Sous la condition le coefficient xn est (-1)n/n! ,ces polynômes vérifient l'équation différentielle :  xL"n + (1 - x)L'n + nLn = 0

et les récurrences :

On peut donner une définition plus générale au moyen de la densité x xαe-x, α entier. La récurrence est alors :

Polynômes orthogonaux :

Les polynômes de Laguerre sont obtenus par le développement en série de la fonction ci-dessous, dite génératrice :

Leur norme pour le produit scalaire ci-dessus est || Ln || = n! (factorielle n). Les premiers polynômes de Laguerre sont :

Dans l'espace de Hilbert L2(R+), des fonction de carré intégrable pour la mesure de Lebesgue, les polynômes :

constituent une base orthonormale (pour le produit scalaire défini plus haut).

 Hilbert            Lebesgue et les espaces Lp :
Théorème de Laguerre :

Si P(x) = aixi est un polynôme de degré n possédant n racines réelles, ses racines sont toutes contenues dans l'intervalle [u,v] où les réels u et v sont les solutions de l'équation :

nx2 + 2an-1x + [ 2(n - 1)an-2- (n - 2)a2n-1] = 0
 

  Pour en savoir plus :

  1. Biographie et œuvre d'Edmond Laguerre par Eugène Rouché (1887) sur Numdam :
    http://www.numdam.org/article/NAM_1887_3_6__105_0.pdf

  2. Publications de Laguerre numérisées sur Numdam :
    - http://www.numdam.org/search/Laguerre-"Laguerre"-qn/

    - dont Sur l'emploi des imaginaires en géométrie :
    http://www.numdam.org/item/NAM_1878_2_17__55_1/


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