ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Recherche des points stationnaires d'une courbe algébrique définie
    implicitement sous la forme f(x,y) = 0

La recherche des points stationnaires d'une courbe algébrique (auto-intersection) n'est pas toujours simple. En un tel point le vecteur tangent est indéfini : il se peut qu'il n'existe pas (point isolé, comme au point O ci-dessous, figure 1) ou qu'il ne soit pas unique (point de rebroussement-figure 2, ou point multiple-figure 3) :

La tangente en M(xo,yo) ayant pour équation :

 (x - xo)∂f/∂x + (y - yo)∂f/∂y  = 0,

une condition nécessaire de la présence d'un point stationnaire est l'annulation simultanée des dérivées partielles par rapport à x et y : ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0. Selon la formule de Taylor pour deux variables, au voisinage du point M(a,b) en question, en posant Δx = h et Δy = k, on a :

f(a + Δx, b + Δy) = ½[(Δx)22f/∂x2 + 2ΔxΔy∂2f/∂x∂y + 2(Δy)22f/∂y2] + o[(Δx)2,(Δy)2]

Lorsque Δx et Δy tendent vers 0, le 1er membre tend vers 0 = f(a,b) et Δy/Δy tend vers m coefficient directeur de la tangente en M(a,b). Il vient alors "en principe" une équation du second degré en m à condition que ∂2f/∂y2 soit non nul :

m22f/∂y2 + 2m∂2f/∂x∂y + ∂2f/∂x2  = 0   (1)

Les dérivées partielles étant prises en x = a, y = b. Supposons donc ∂2f/∂y2 0 et posons D = ∂2f/∂x∂y - ∂2f/∂x22f/∂y2 :

  Si ∂2f/∂y2 est non nul en M(a,b) :

ou d'un point de rebroussement de 1ère ou 2ème espèce :

On parle de point tacnodal (du latin tactus, de tangere = toucher, qui a donné contact, de cum = avec, ensemble). Ces cas sont également étudiés dans le cas des représentations paramétrées.

Voici l'exemple d'une courbe ayant un petit souci au voisinage de 0 :

  On considère la courbe algébrique d'équation implicite f(x,y) = x5 - (y - x2)2 = 0.
a/ Calculer les dérivées partielles ∂f/∂x et ∂f/∂y de la fonction f.    b/ Étudier les points singuliers de la courbe (γ) associée à f. 

  Si ∂2f/∂y2 s'annule en M(a,b) :

 et n'apporte pas de renseignements suffisants. Il faudra pousser le développement de Taylor à l'ordre 3. On pourra même alors obtenir des points triples. Mais, bon, ça se complique, m = dy/dx sera solution d'une équation du 3è degré...


Étudier en (0,0), la sextique "tricirculaire" définie par d'équation (x2 + y2)3 = x2
!!!


Il sera plus facile d'exprimer y en fonction de x et d'étudier une bonne vielle fonction y = f(x)...

Dans le cas d'un point triple, quadruple, etc., on parle de point multiple d'ordre p ou de multiplicité p. Dans ce cas, les dérivées partielles jusqu'à l'ordre p - 1 sont nulles en ce point.

Lorsqu'en un point de multiplicité p les tangentes en ce point sont distinctes, on doit, dans la formule énoncée ci-dessus, décompter p(p - 1)/2 points doubles. Quand les tangentes sont confondues, la situation est ambiguë, il y a confusion des genres !

Plücker a prouvé qu'une courbe algébrique de degré n possède au plus :

points doubles à moins qu'elle ne soit dégénérée : si f(x,y) est décomposable en un produit de facteurs. De plus, lorsque le nombre de points doubles est effectivement d, la courbe est unicursale : elle admet une représentation paramétrique.

On peut s'intéresser aux points d'inflexion d'une courbe donnée sous forme implicite : points où la courbe traverse sa tangente. Dans le cas élémentaire y = f(x), il s'agit des points où la dérivée seconde de f s'annule en changeant de signe, donc changement de concavité.

Dans le cas implicite f(x,y) = 0, il s'agit donc de calculer d2y/dx2. La formule, valable si ∂f/∂y 0 est assez compliquée :

Rebroussement, inflexion, point double dans le cas paramétré x = f(t), y = g(t) :


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