ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Recherche des points stationnaires d'une courbe
algébrique définie implicitement sous la forme f(x,y) = 0 » Cas paramétré x = f(t), y = g(t) |
Pour la recherche et la nature d'un extremum d'une fonction de plusieurs variables, on pourra consulter les liens ci-dessous et pour un point d'inflexion dans ce cas implicite, voir un résultat et un lien in fine.
» Extremums et déterminant de Hesse , Formule de Taylor , Équation de la tangente du cas f(x,y) = 0
Soit (c) une courbe algébrique plane définie implicitement par f(x,y) = 0 où f est un polynôme en x et y. Quitte à translater le repère, on peut toujours supposer que la courbe passe par l'origine, ce qui supprime une constante éventuelle (monôme de degré 0) dans l'équation.
Pour une fonction de plusieurs variables f de Rn dans Rp, on parle de point critique ou de point singulier lorsque son gradient en ce point est nul : ∂f/∂x1 = ∂f/∂x2 = ... = ∂f/∂xn = 0. Sinon, on parle là aussi de point régulier ou ordinaire. L'annulation du gradient exprime un point dit stationnaire.
➔ En présence d'une courbe algébrique donnée sous forme implicite f(x,y) = 0, on pourra trouver avantage à l'étudier (ou compléter son étude), si cela se peut, sous forme paramétrique x = g(t), y = h(t) ou explicite y = φ(x), quitte dans ce dernier cas à distinguer plusieurs déterminations.
Exemple : la cubique x3 - x2 - y2 = 0 (cas 2, illustré ci-dessous) s'étudiera facilement de façon élémentaire sous la forme y = ± √(x3 - x2). On pourra écrire à y = ± x √(x - 1) à condition de remarquer que l'on change ainsi l'ensemble de définition de la courbe : O(0,0) est un point isolé qui disparaît dans cette écriture : ! Moralité : toujours établir l'ensemble de définition d'une courbe avant d'en modifier l'équation ! Dans le cas présent, y2 = x3 - x2 = x2(x - 1) ≥ 0 est vérifié ssi x = 0 ou x ≥ 1. Voyez aussi ce cas.
Noter que l'on peut paramétrer la cubique ci-dessus en posant y = tx, fournissant x = t2 + 1, y = t3 + t.
Soit (c) une courbe algébrique plane définie implicitement par f(x,y) = 0 où f est un polynôme en x et y. S'agissant d'un point régulier M(a,b), ∂f/∂x et ∂f/∂y ne sont pas simultanément nuls en ce point et T(-∂f/∂y, ∂f/∂x), vecteur tangent, dirige la tangente dont une équation est :
(x - a)∂f/∂x + (y - b)∂f/∂y = 0 (1)
S'agissant d'un point singulier, ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0, on parle de point double. Il se peut aussi que le point soit triple, quadruple, ... : on parle de point multiple d'ordre p pour exprimer que toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre p - 1 sont nulles (y compris les dérivées mixtes ∂2f/∂x∂y, ∂3f/∂x2∂y, ∂3f/∂x∂y2, ...)
Cette qualification (double, triple, ...) s'explique par le développement de Taylor d'une fonction polynomiale de deux variables de degré n, nulle pour tout point M(x,y) de la courbe et dont toutes les dérivées partielles sont nulles au-delà du rang n (» convention de notation pour le calcul des dérivées partielles d'une somme) :
Lorsque h = Δx et k = Δy tendent vers 0, le 1er membre tend vers f(a,b) = 0 et Δy/Δx est censé tendre vers m, coefficient directeur de la tangente en M(a,b), si elle existe.
♦ Par exemple, dans le cas p = 2, au voisinage d'un point M(a,b), on a :
f(a + Δx, b + Δy) = ½[(Δx)2∂2f/∂x2 + 2ΔxΔy∂2f/∂x∂y + 2(Δy)2∂2f/∂y2] + o[(Δx)2,(Δy)2]
et il vient alors, si m = lim Δy/Δx existe et est fini :
m2∂2f/∂y2 + 2m∂2f/∂x∂y + ∂2f/∂x2 = 0 (2)
C'est une équation du second degré en m. Par suite, dans le cas le plus général, nous avons en M(a,b) deux tangentes distinctes ou confondues (point double). Mais une ou deux des dérivées partielles ∂2f/∂y2, ∂2f/∂x∂y, ∂2f/∂x2 peuvent être ou nuls. Donc rien n'est joué ! L'étude de ce cas particulier est exposée ci-après. Voici trois exemples de son usage :
x3(x2+1) - (x-y)2 = 0 (fig. ci-dessous, cas 1) : ∂f/∂x = 5x4 + 3x2 - 2x - 2y , ∂f/∂y = -2y + 2x. Ces dérivées partielles sont nulles en (0,0). L'origine est donc un point singulier. ∂2f/∂x2 = 20x3 + 6x - 2 , ∂2f/∂x∂y = - 2 , ∂2f/∂y2= -2. En O(0,0), l'équation (2) s'écrit : -2m2 + 2m - 2 = 0 ⇔ (m - 1)2 = 0. L'origine est ainsi un point double admettant deux tangentes confondues d'équation y = x. On peut préciser sa nature : l'équation montre que l'on a x ≥ 0 et que x - y = ± √[x3(x2+1)] pour tout M(x,y) de la courbe. C'est dire que la courbe est de part et d'autre de sa tangente à l'origine : point de rebroussement de 1ère espèce.
x3 - x2 -
y2 = 0 (fig. ci-dessous, cas 2) : ∂f/∂x
= 3x2
- 2x , ∂f/∂y = -2y. Ces dérivées partielles sont nulles en
(0,0). L'origine est donc un point singulier.
∂2f/∂x2 = 6x - 2 , ∂2f/∂x∂y
= 0 , ∂2f/∂y2= -2. En O(0,0), l'équation
(2) s'écrit : -2m2
- 2 = 0 : pas de solution. Pas de tangente. En fait, nous sommes en
présence d'un point isolé déjà évoqué
en introduction. En (1,0), on a ∂f/∂x = 1 , ∂f/∂y = 0 : point
régulier d'équation (x - 1)∂f/∂x + (y - 0)∂f/∂y = 0, soit x = 1 :
tangente parallèle à (Oy).
La lemniscate de Bernoulli (fig. ci-dessous, cas 3) d'équation (x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) = 0, a ≠ 0 : on a ∂f/∂x = 4x(x2 + y2) - 4a2x, ∂f/∂y = 4y(x2 + y2) - 4a2y. Ces dérivées partielles sont nulles en (O(0,0). Passons à l'ordre 2 : ∂2f/∂x2 = 12x2 - 4a2 , ∂2f/∂x∂y = 8xy , ∂2f/∂y2= 12x2 + 4a2. En O(0,0), on a ∂2f/∂x2 = - 4a2 , ∂2f/∂x∂y = 0 , ∂2f/∂y2 = 4a2; les dérivées partielles ne sont pas toutes nulles et l'équation (2) s'écrit : 4a2m2 - 4a2 = 0; d'où l'existence de deux tangentes à l'origine de pente ± 1, donc d'équations y = ± x. Le théorème de Cramer ci-après fournit très facilement ces équations.
De gauche à droite : x3(x2+1) - (x-y)2 = 0,
x3 - x2 - y2 = 0 , (x2
+ y2)4
- 4(x2
- y2) = 0
Si les trois dérivées partielles du second ordre sont nulles, il faut pousser à p = 3 et aboutir à une équation du 3ème degré avec, au plus, trois tangentes distinctes : point triple.
D'une façon générale :
Dans le cas d'un point multiple d'ordre p, toutes les dérivées d'ordre inférieur à p sont nulles et les tangentes, lorsqu'elles existent (y compris parallèles à Oy) auront pour équation :
(3)
♦ Par exemple, dans le cas d'un point triple M(a,b), les équations des tangentes sont données par :
(x - a)3∂3f/∂x3 + 3(x - a)2(y - b)∂3f/∂x2∂y + 3(x - a)(y - b)2∂3f/∂x∂y2 + (y - y)3∂3f/∂y3
Prenons l'exemple du trifolium régulier d'équation (x2 + y2)2 - x(x2 - 3y2) = 0 : ∂f/∂x = 4x(x2 + y2) - 3x2 + 3y2, ∂f/∂y = 4y(x2 + y2) + 6xy. Ces dérivées partielles sont nulles en O(0,0). L'origine est un point singulier. Passons à l'ordre 2 : ∂2f/∂x2 = 12x2 +4y2 - 6x, ∂2f/∂x∂y = 8xy + 6y , ∂2f/∂y2 = 4x2 + 12y2 + 6x. Toutes ces dérivées sont nulles en O. Mais ∂3f/∂x3 = 24x + 8y - 6 = -6 ≠ 0 en O qui est donc un point triple; ∂3f/∂y3 = 24y = 0 en O; ∂3f/∂x2∂y = 8y = 0 en O; ∂3f/∂x∂y2 = 8x + 6 = 6 en O. L'équation (3) s'écrit donc : -6x3 + 18x2y2 = 0, soit x(x2 - 3y2) = 0. D'où l'existence de trois tangentes distinctes à l'origine de d'équations y = ± x/√3 et x = 0 (axe Oy). Le théorème de Cramer ci-dessous fournit très facilement ces équations :
Si vous êtes courageux, vous pouvez aussi rechercher de cette façon les tangentes en O de la lemniscate (degré 6), d'équation (x2 + y2)3 - x2y2 = 0. Les tangentes sont données par x6∂6f/∂x6 + 6x5y∂6f/∂x5∂y + 15x4y2∂6f/∂x4∂y2 + 20x3y3∂6f/∂x3∂y3 + ... y6∂6f/∂y6. Mieux vaudra utiliser ce théorème ... :
➔ Avant de se lancer dans des calculs inutiles et superflus, voici un résultat fondamental du à Cramer (1750) :
Si une courbe algébrique de degré n, définie par f(x,y) = 0, admet l'origine O des coordonnées comme point multiple non isolé, alors l'ensemble des tangentes en O est obtenu en annulant dans l'équation de la courbe l'ensemble des termes de plus bas degré (termes de degré au plus égal à n - 1).
La lemniscate de Bernoulli d'équation (x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) = 0, a ≠ 0 : le théorème de Cramer fournit x2 = y2, donc y = ± x.
Le trifolium régulier d'équation (x2 + y2)2 - x(x2 - 3y2) = 0 : le théorème de Cramer fournit ici x(x2 - 3y2), donc x = 0 et y = ± x/√3 : ce sont bien les équations fournies par l'usage de la formule de Taylor du cas général.
Le quadrifolium (x2 + y2)3 - 8x2y2 = 0: ∂f/∂x = 6x(x2 + y2)2 - 2xy2, ∂f/∂y = 6y(x2 + y2)2 - 2yx2. Ces dérivées partielles sont nulles en (0,0). Il en est de même des dérivées partielles jusqu'à l'ordre 6. A l'ordre 7, on a ∂7f/∂x7 = 720 = ∂7f/∂y7 ≠ 0. L'origine est un point multiple d'ordre 6... Mais le théorème de Cramer permet d'affirmer que la courbe admet en O les deux tangentes d'équation y = 0 et x = 0.
∗∗∗
On considère la
courbe algébrique (C) d'équation x4 + xy3
- y4 + 3xy - 2 = 0.
a) Calculer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec l'axe
des abscisses.
b)
Justifier qu'en posant X = x - 21/4 et Y
= y, la courbe (C') obtenue passe par l'origine. Quelle est l'équation
de (C') ?
c) Utiliser la méthode générale puis le
théorème de Cramer pour établir l'équation de la tangente en
Ω à la courbe (C).
Discussion du cas p = 2 (point double) :
Dans la discussion qui suit, M(a,b) est un point de la courbe, vérifiant donc f(a,b) = 0 et les dérivées partielles sont prises en x = a et y = b et m désigne le coefficient directeur de la (des) tangente(s) cherchée(s) :
m2∂2f/∂y2 + 2m∂2f/∂x∂y + ∂2f/∂x2 = 0 (2) » justification
Lorsque ∂2f/∂y2 ≠ 0, on pose D = ∂2f/∂x∂y - ∂2f/∂x2 × ∂2f/∂y2 (discriminant réduit) :
♦ Lorsque ∂2f/∂y2 ≠ 0, on pose D = ∂2f/∂x∂y - ∂2f/∂x2 × ∂2f/∂y2 (discriminant réduit) :
Si D < 0 : (2) est non nul. Pas de tangente : M est un point isolé de la courbe pour lequel le calcul précédent ne peut s'appliquer.
∗∗∗
Étudier le cas x3 + y3
+ x2 + y2 = 0 représenté ci-dessous où O(0,0) est
isolé.
☼
» voir
aussi ce cas élémentaire
Si D = 0 : 1 solution double m = - ∂2f/∂x∂y ÷ ∂2f/∂y2 : 2 tangentes confondues en M(a,b). Il peut s'agir d'un point double à tangente unique :
Ci-dessus, à gauche, la courbe d'équation x3(x2+1) - (x-y)2 = 0 a été présentée en introduction : elle présente un point de rebroussement de 1ère espèce en l'origine (point double). La tangente à pour équation y = x.
On parle de point tacnodal (du latin tactus, de tangere = toucher, qui a donné contact, de cum = avec, ensemble). Ces cas sont également étudiés dans le cas des représentations paramétrées. En anglais, le rebroussement de 2ème espèce est qualifié de cusp (signifiant corne). En français, on parle aussi de courbe cuspidale.
∗∗∗
Voici le cas d'un point de
rebroussement de 2ème espèce à l'origine : f(x,y)
= x5 - (y - x2)2 = 0, illustré ci-dessus à
droite.
Calculer les dérivées partielles des premier et second ordre, former l'équation
en m. Conclure.☼
Si D > 0 : deux solutions m1 et m2 : Il y a en M(a,b) deux tangentes distinctes : c'est encore un point double : les arcs se croisent, on parle de nœud ou de point nodal (du latin nodus = nœud).
- C'est le cas du folium de Descartes et de la lemniscate de Bernoulli pour laquelle, on trouvera aisément l'équation 4a2m2 - 4a2 = 0 en O(0,0), soit m = ± 1 : les tangentes en O sont les bissectrices des axes.
♦ Si ∂2f/∂y2 s'annule en M(a,b) :
L'équation (1) devient : 2m∂2f/∂x∂y + ∂2f/∂x2 = 0. Si ∂2f/∂x∂y est non nul en (a,b), nous avons une tangente de coefficient directeur m = - ½∂2f/∂x2/∂2f/∂x∂y.
Si ∂2f/∂x∂y est nul en (a,b) : il n'y a plus d'équation en m; on obtient ∂2f/∂x2 = 0. Ce qui est faux à moins que p ne soit pas égal à 2... Il peut en fait s'agir d'une tangente parallèle à l'axe des ordonnées (m infini).
Si le point singulier est à l'origine, on pourra utiliser le théorème de Cramer qui sauve la situation !
Dans un cas plus général, il pourra s'avérer préférable de passer en représentation explicite y = f(x) ou paramétrée.
Courbe unicursale : » Rebroussement, inflexion, point double du cas paramétré : »
∗∗∗
Étudier en (0,0) la quartique définie par d'équation (x2
+ y2 - 4x)2
- 4x(x2 + y2) = 0
(on aura tout intérêt à utiliser le théorème de Cramer...)
∗∗∗
Étudier en (0,0) la sextique "tricirculaire" définie par d'équation (x2
+ y2)3 = x2
Il sera plus facile d'exprimer y en fonction de x et
d'étudier une bonne vieille fonction explicite y = f(x)...
Inflexion :
On peut s'intéresser aux points d'inflexion d'une courbe donnée sous forme implicite : points où la courbe traverse sa tangente. Dans le cas explicite y = f(x), il s'agit des points où la dérivée seconde de f s'annule en changeant de signe, donc changement de concavité.
Dans le cas implicite f(x,y) = 0, il s'agit donc de calculer d2y/dx2. La formule, valable si ∂f/∂y ≠ 0 (donc en un point non singulier) est assez compliquée :
Là encore, le passage à une équation paramétrique x = f(t), y = g(t) ou explicite y = f(x) pourrait s'avérer plus aisé, mais ce n'est pas assuré...
En savoir plus sur les points d'inflexion : » Différentielle d'une fonction de plusieurs variables : »
