ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PLÜCKER Julius, allemand, 1801-1868

Ce physicien et mathématicien géomètre étudia à Bonn, Berlin, Heidelberg et Paris et reçut son diplôme in absentia par l'université de Marburg (1823). Il professa tout d'abord à Bonn, puis après une courte période à Berlin et Halle, Plücker obtiendra (1836) et conservera une chaire de géométrie à Bonn jusqu'à sa mort.

Plücker fut un spécialiste des courbes algébriques qu'il cherchera à classifier en en fonction de leurs points singuliers, ainsi que des méthodes analytiques en géométrie projective (System der Analytischen Geometrie, 1835). Il se tournera vers la physique avec l'étude du magnétisme et de la fluorescence des rayons cathodiques.

Plücker marque l'apogée de la géométrie projective dont le couronnement sera la classification, par Klein, son élève, des différentes géométries au moyen de la théorie des groupes.

À l'inverse de Von Staudt et Steiner adeptes de la géométrie "pure" et en dépit de leurs critiques, Plücker généralisa le concept des coordonnées homogènes de Möbius, qu'il appliqua à la droite, au plan et aux courbes algébriques (coordonnéess plückeriennes) en construisant une théorie analytique de la géométrie projective. Avec Plücker, tout sera dit (ou presque...) sur la géométrie projective. Les travaux de Klein couronneront les recherches consacrées aux géométries projectives et non euclidiennes.

La seconde moitié du 19è siècle sera surtout consacrée (en mathématiques...) à la construction rigoureuse des nombres réels et aux fondements des mathématiques (axiomatique et cohérence) dont Hilbert dressera le bilan en 1897 à la demande de Cantor (1er congrès international des mathématiques, Zürich).

Formules de Plücker pour les courbes algébriques :

Prolongeant des recherches initiées par Poncelet dans le but de classifier les courbes algébriques, Plücker obtient des formules remarquables grâce à un point de vue projectif au moyen des coordonnées homogènes exposées dans sa Théorie des courbes algébriques (1839).

Les cubiques, courbes algébriques de degré 3 (on dit aussi du troisième ordre), d'équation générale p(x,y) = 0 où p est un polynôme irréductible de degré 3 en x et y : ax3 + bx2y + cxy2 + dxy + αy3 + βy2x + γx + δy + k ont intéressé un grand nombre de mathématiciens comme Maclaurin, E. de Jonquières et Plücker qui dénombra 219 "formes" différentes. Par 9 points passe en général (voir théorème ci-dessous) une cubique et une seule. Le premier à s'intéresser à leur classement semble être Newton qui écrivit son traité Enumeratio linearum tertii ordinis en 1678 (à l'époque on parlait de lignes plutôt que de courbes).

  Ernest Jean-Philippe Fauque de Jonquières : officier de la marine française issu de l'École navale de Brest (1820-1901), vice-amiral (1879). Il se passionna pour la géométrie et l'étude des courbes algébriques en particulier. Il reçut le Grand prix de l'Académie des sciences pour son traité des courbes algébriques du 4ème degré. On lui doit également des résultats concernant la géométrie énumérative de Schubert. Source bio. : CDSB.

Théorème :   

Par 9 points dont 4 ne sont pas alignés et 7 ne sont pas sur une conique, on peut faire passer une unique cubique

Un théorème de Bézout :

Les résultats de Plücker, publiés dès 1834 dans le Journal de Crelle, seront étendus par Cayley aux courbes gauches (courbes de l'espace) et aux surfaces algébriques. Si f(x,y) = 0 est l'équation d'une courbe algébrique, on introduit une variable artificielle z d'homogénéité en remplaçant x et y par x/z et y/z. Comme en géométrie projective, un point à l'infini correspond à z = 0. Un point à distance finie est donné par z = 1.

La variable z peut être considérée comme une variable indépendante au même titre que x et y. Cet artifice élimine la partie constante de l'équation polynomiale et permet de traiter des points singuliers, comme les points doubles ou à l'infini (z = 0), correspondant à des asymptotes, comme tout autre point.

Dans ce point de vue projectif, un point double sera recherché en annulant simultanément ∂f/∂x, ∂f/∂y et ∂f/∂z.

à noter que ce point de vue n'est pas nouveau. Si n est le degré de l'équation homogène φ(x,y,z) = 0, Euler a établi une jolie formule :

xφ/x + yφ/y + zφ/z = nφ

Étant donné une courbe algébrique (γ) d'équation cartésienne homogène φ(x,y,z) = 0, on appelle :

Considérant les particularités de (γ), appelons maintenant :

Pour une courbe simple, sans rebroussement ou point double, on a c = n(n - 1) et d ne peut excéder (n - 1)(n - 2)/2. Les autres cas sont plus complexes... Plücker établit les formules suivantes (non indépendantes) :

Il existe un (très) grand nombre de formules complémentaires, non exposées ici, établies en particulier par Laguerre et Cayley, ce dernier cherchant à classifier les courbes gauches (courbes de l'espace).

L'usage de ces formules est assez délicat et conduit souvent à des aberrations dues à des erreurs d'appréciation sur la nature de certains éléments de la courbe. Elles doivent donc être utilisée avec circonspection (du latin circum = autour et spectare = regarder), pour signifier de bien analyser le cas considéré !

  Castelnuovo , Lefschetz

Conoïde de Plücker :

Analogue au coin de Wallis, il s'agit d'un conoïde ( surface réglée) s'appuyant sur une sinusoïde (sa directrice)  tracée sur un cylindre droit de rayon r, d'axe (Oz) et ayant (p) = (xOy) comme plan directeur.

On décide de tracer une sinusoïde admettant 2 périodes symétriquement par rapport à (p). Tout point M(x,y,z) de ce conoïde se projette en x = u.cos(v), y = u.sin(v) représentant les coordonnées de H, projection orthogonale de M où :

  u = OH, varie de 0 à r; 
  v angle colorié en jaune sur la figure, varie de 0 et 2.

Vu que l'on doit obtenir 2 périodes en un "tour" de cylindre, la cote de M, qui est celle de m, mesure r.sin(2v). L'équation paramétrée de notre conoïde est donc :

       x = u.cos(v), y = u.sin(v), z = r.sin(2v),
       0 u r, 0 v 2

Le conoïde est tracé ci-dessous avec le logiciel de Denis Monasse (r = 2). Il possède 4 arches isométriques deux à deux opposées (2 creux, 2 bosses).

Il s'agit d'une surface algébrique de degré 3 : on montre aisément que ce conoïde admet z(x2 + y2) - 2xy = 0 comme équation cartésienne. C'est une surface réglée.

Une vue de "dessus" :      

Une vue de "côté" :      

  Si l'on remplace sin(2v) par sin(3v), on obtiendra 6 arches (3 périodes) :

   compléter : x = u.cos(v), y = u.sin(v), z = r.sin(...) :

   Compléter : x = u.cos(v), y = u.sin(v), z = r.sin(...) :

Parapluie de Whitney :

Pour en savoir plus :


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