ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Perles de Sluse

Il s'agit des courbes algébriques, étudiées par le mathématicien flamand René Sluze, dont une équation implicite est de la forme :

ym = axn(b - x)p

où m, n et p sont des entiers, a et b des nombres réels, aucun de ces paramètres n'étant nul. 

cas m = 4 , n = 2 , p = 3, a = b = 1 : y4 = x2(1 - x)3

Puisque y4 est positif, on a nécessairement ici x 1. L'équation cartésienne est donnée par :

  La fonction dérivée de r : x x2(1 - x)3 est x x(1 - x)2(2 - 5x) dont le signe est aisé à étudier.

  La détermination positive de y est la racine 4ème de r; c'est une fonction croissante de r.

  La variation de y s'obtient donc aisément. Les tangentes en x = 0 et x = 1 sont verticales : en effet, en dérivant y4 = x2(1 - x)3 par rapport à x, on obtient :

4y'y3 = x(1 - x)2(2 - 5x)

et la détermination positive de y sur l'intervalle ]0;1[ est : y3 = x3/2(1 - x)9/4. On obtient finalement :

 Au voisinage de 0 avec x < 0, en posant X = -x, on a : y4 = X2(1 + X)3 avec X > 0; un calcul semblable montre que la tangente est également verticale.
 

cas m = 4 , n = 2 , p = 5, a = b = 1 : y4 = x2(1 - x)5

On a encore ici x 1.

La tangente en x = 0 est verticale, mais en x = 1, on a cette fois une tangente horizontale : en effet, en dérivant y4 = x2(1 - x)5 par rapport à x, on obtiendra :

4y'y3 = x(1 - x)4(2 - 7x)


 

La détermination positive de y, sur l'intervalle ]0;1[ est :

y3 = x3/2(1 - x)15/4

Ce qui fournit :

 

 Calcul analogue au voisinage de 0 avec x <0 en posant X = -x.

cas m = 4 , n = 2 , p = 4, a = b = 1 : y4 = x2(1 - x)4

La courbe est définie pour toute valeur de x. L'équation cartésienne est donnée par :

L'étude de la courbe (ci-dessus) est très simple : on étudie la détermination positive (rose) sur les intervalles ]- , 0], [0;1] et [1; +[ et on complète par symétrie par rapport à l'axe des abscisses (bleu).

En x = 1, la courbe admet deux tangentes distinctes. En effet, sur [0;1], la détermination positive de y est x(1 - x) alors qu'elle égale -x(1 - x) = x(x - 1) sur [1; + [, ce qui fournit respectivement des coefficients directeurs -1 et 1 pour les demi-tangentes au point 1.

cas m = 5 , n = 3 , p = 4, a = b = 1 : y5 = x3(1 - x)4

La courbe est définie pour tout x. Son étude ne pose pas de problèmes particulier, mais écrire

y = [x3(1 - x)4]1/5

est incorrect car la fonction racine 5ème est, a priori, définie sur les réels positifs.

Comme dans le premier cas, on déduira les variations de y à partir de celle de x x3(1 - x)4 puisque 5y'y4 = x2(1 - x)3(3 - 7x).

 
 

cas m = 4 , n = 5 , p = 3, a = b = 1 : y4 = x5(1 - x)3


La courbe est définie pour x compris entre 0 et 1.
4y'y3 = x4(1 - x)2(5 - 8x)
La détermination positive de y, sur l'intervalle ]0;1[  est : y3 = x15/4(1 - x)9/4, ce qui fournit :

 

Courbes piriformes :


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