Perles de Sluse |
Il s'agit des courbes algébriques, étudiées par le mathématicien flamand René Sluze, dont une équation implicite est de la forme :
où m, n et p sont des entiers, a et b des nombres réels, aucun de ces paramètres n'étant nul.
cas m = 4 , n = 2 , p = 3, a = b = 1 : y4 = x2(1 - x)3 |
Puisque y4 est positif, on a nécessairement ici x ≤ 1. L'équation cartésienne est donnée par :
• La fonction dérivée de r : x →
x2(1 - x)3 est x →
x(1 - x)2(2 - 5x) dont le signe est aisé à étudier.
• La détermination positive de y est la racine 4ème de r; c'est
une fonction croissante de r.
• La variation de y s'obtient donc aisément. Les tangentes en x = 0 et x = 1
sont verticales : en effet, en dérivant
y4 = x2(1 - x)3 par rapport
à x, on obtient :
4y'y3 = x(1 - x)2(2 - 5x)
et la détermination positive de y sur l'intervalle ]0;1[ est : y3 = x3/2(1 - x)9/4. On obtient finalement :
➔
Au
voisinage de 0 avec x < 0, en posant X = -x, on a : y4
= X2(1 + X)3 avec X > 0; un calcul
semblable montre que la tangente est également
verticale.
cas m = 4 , n = 2 , p = 5, a = b = 1 : y4 = x2(1 - x)5 |
On a encore ici x ≤ 1.
La tangente en x = 0 est verticale, mais en x = 1, on a cette fois une tangente horizontale : en effet, en dérivant y4 = x2(1 - x)5 par rapport à x, on obtiendra :
y3 = x3/2(1 - x)15/4
Ce qui fournit :
➔ Calcul analogue au voisinage de 0 avec x <0 en posant X = -x.
cas m = 4 , n = 2 , p = 4, a = b = 1 : y4 = x2(1 - x)4 |
La courbe est définie pour toute valeur de x. L'équation cartésienne est donnée par :
L'étude de la courbe (ci-dessus) est très simple : on étudie la détermination positive (rose) sur les intervalles ]-∞ , 0], [0;1] et [1; +∞[ et on complète par symétrie par rapport à l'axe des abscisses (bleu).
En x = 1, la courbe admet deux tangentes distinctes. En effet, sur [0;1], la détermination positive de y est √x(1 - x) alors qu'elle égale -√x(1 - x) = √x(x - 1) sur [1; +∞ [, ce qui fournit respectivement des coefficients directeurs -1 et 1 pour les demi-tangentes au point 1.
cas m = 5 , n = 3 , p = 4, a = b = 1 : y5 = x3(1 - x)4 |
La courbe est définie pour tout x. Son étude ne pose pas de problèmes particulier, mais écrire
y = [x3(1 - x)4]1/5
est incorrect car la fonction racine 5ème est, a priori, définie sur les réels positifs.
Comme dans le premier cas, on déduira les variations de y à partir de celle de x → x3(1 - x)4 puisque 5y'y4 = x2(1 - x)3(3 - 7x).
cas m = 4 , n = 5 , p = 3, a = b = 1 : y4 = x5(1 - x)3 |
y s'annulant en x = 0 et x = 1, on obtient ici une courbe fermée.
La tangente est ici horizontale en x = 0 et verticale en x = 1 : en dérivant y4 = x5(1 - x)3 par rapport à x, on obtiendra :
La détermination positive de y, sur l'intervalle ]0;1[ est : y3 = x15/4(1 - x)9/4, ce qui fournit :
Courbes piriformes : »