ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 ROUCHÉ Eugène,
français, 1832-1910 |
Né à Sommières (Gard), issu d'une famille aisée, Eugène Rouché étudia au collège Sainte-Barbe, sis rue Valette à Paris, un collège privé réputé depuis le 15è siècle (qui ne ferma ses portes qu'en 1999, remplacé par une bibliothèque universitaire) qui assurait l'enseignement secondaire ainsi que les préparations aux grandes écoles, dont Polytechnique qu'Eugène rejoint en 1852. Il en sort deux ans plus tard et s'oriente vers l'enseignement.
Professeur de physique à Nantes, puis de mathématiques (1855) au lycée Charlemagne (Paris), Rouché soutient deux thèses de doctorat en 1858, la première est purement mathématique : Sur le développement des fonctions en séries ordonnées suivant les dénominateurs des réduites d'une fraction continue (» réf.2), l'autre, en lien avec les sciences physiques, poursuivant des recherches de Bertrand : Sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de mécanique relatifs au mouvement d'un point sur une surface (publiée dans le journal de Liouville, » réf.3). Le jury était présidé par Lefébure de Fourcy assisté de Lamé et Liouville.
En 1867, Rouché est nommé professeur de géométrie descriptive et de stéréotomie (technique de construction des voutes, coupoles, ogives, escaliers, etc. en architecture) à l'École centrale des arts et manufactures où il faisait déjà partie du jury d'admission. Également répétiteur (adjoint auprès d'un professeur titulaire) à Polytechnique (1861-1883), Rouché délaisse l'École centrale en 1884 pour un poste de professeur titulaire au Conservatoire national des Arts & métiers (CNAM) chargé de la géométrie descriptive, poste qu'il conservera jusqu'en 1905.
Ses travaux portèrent sur le calcul différentiel et intégral dans le cas réel et complexe, le développement en série des fonctions, l'algèbre linéaire et le calcul des probabilités. Il est aussi l'auteur, avec un collègue et ami, Charles de Comberousse (1826-1897), d'un Traité de géométrie élémentaire (Éditions Gauthier-Villars, Paris, 1865, » réf.4). Éminent professeur, il fut nommé à de hautes fonctions administratives de l'enseignement supérieur. Officier de la Légion d'honneur, Rouché fut élu à l'Académie des sciences en 1896.
» Son fils Jacques (1862-1957), polytechnicien , inspecteur des finances, se tourna vers le théâtre et la musique. Il fut directeur de l'Opéra de Paris (1913) et mit en scène des œuvres de musiciens français (Maurice Ravel, Vincent d'Indy, Albert Roussel). Il fut élu à l'Académie des beaux-arts (une des cinq classes de l'Institut de France) en 1924.
| Théorème de Rouché (analyse complexe, 1862) : |
On considère deux fonctions f et g d'une variable complexe z vérifiant | f(z) | > |g(z) pour tout z de C et une courbe de Jordan (J) du plan complexe (s'interprétant comme une courbe simple et fermée de R2), f ne s'annulant pas sur (J). Alors les équations f(z) = 0 et f(z) + g(z) = 0 ont le même nombre solutions dans le domaine de contour (J).
On pourra consulter la preuve de ce théorème sur le site de Michèle Audin (» réf.5). En application de ce théorème, on peut facilement déduire le théorème fondamental de l'algèbre, également appelé théorème de d'Alembert-Gauss selon lequel :
Tout polynôme p de C[z] admet au moins un zéro dans C.
Preuve : poser p(z) = Σanzn, an non nul, g(z) = anzn, f(z) = p(z) - g(z). On note J le cercle de centre O de rayon r > 1. Étudier alors le rapport |f(z)/g(z)| pour r suffisamment grand...
Fonction d'une variable complexe, théorème des résidus : » » Liouville
| Théorème de Rouché-Fontené (algèbre linéaire) : |
Considérons et appelons (s) le système n x p de n équations linéaires à p inconnues x1, x2,…,xp :
a1,1x1 + a1,2x2 + … + a1,pxp = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + … + a2,pxp = b2
…
...
an,1x1 + an,2x2 + … + an,pxp = bn
où les ai,j et les bi sont des réels donnés, 1 ≤ i ≤ n, et 1 ≤ j ≤ p. On note r le rang du système.
si r = n :
on a r inconnues principales (et n
≤ p);
on peut donner aux autres des valeurs arbitraires (on les considère comme des
paramètres, indétermination d'ordre p - r) et la résolution du système se ramène à un système de Cramer
r × r;
si r < n : si l'un des n - r déterminants caractéristiques de (s) est non nul, alors (s) n'a pas de solutions, sinon on est ramené au cas précédent.
En savoir plus sur ce théorème, bordant, déterminant caractéristique, exercice : »
➔ Pour en savoir plus :
Sylow