ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Sir HODGE William Vallance Douglas, écossais, 1903-1975

Éléments biographiques : CDSB | Collected works, Michael F Atiyah (univ. Edimbourg) & portrait

Né à Edimbourg, William Hodge étudia tout d'abord brillamment au George Watson's College de sa ville natale et, bénéficiaire d'une bourse d'études (1923), poursuit des études de mathématiques au déjà très renommé St John's College de Cambridge. Un de ses professeurs Henry F. Baker (1866-1956), spécialiste en géométrie projective et, par là, en ce qu'on appellera la géométrie algébrique, orientera ses études et sa carrière. A l'issue de son cycle à Cambridge (1926), il obtient un poste d'assistant à l'université de Bristol et se fait connaitre par la publication de divers mémoires dont On multiple integrals attached to an algebraic variety (1930).

Invité aux universités de Princeton et de Harvard l'année suivante, il encontre Lefschetz, lequel, impressionné par les qualités du jeune mathématicien, le fait rencontrer Zariski qui le confortera dans la voie qu'il s'est fixée. Hodge consacra ainsi toute ses recherches à la géométrie algébrique ainsi qu'à la géométrie différentielle : variétés de Riemann, de Grassman, de Kähler), fonctions harmoniques, intégrales abéliennes et harmoniques, opérateur et dualité de Hodge, jetant un pont entre ces deux aspects de la géométrie.

De retour en Angleterre, Hodge fera toute sa carrière  à Cambridge où il fut titulaire de la chaire Lowndean d'astronomie et géométrie (1936-1970) et au Pembroke College (1958-1970). Il fut avec Zariski et van der Waerden un des plus éminents experts en géométrie algébrique de cette période.

Élu membre de la Royal Society en 1938 qu'il présidera dans les années 1960, anobli par la reine Elisabeth II en 1959, Sir William Hodge fut récipiendaire de nombreux prix, dont la médaille Copley 1974 de la Royal Society pour ses travaux innovants relatifs aux intégrales harmoniques.

La conjecture de Hodge :

C'est en 1941 que Hodge publie Theory and Application of harmonic Integrals, traité où il émet une difficile conjecture relative à la cohomologie des variétés algébriques projectives complexes. La conjecture passe quasiment inaperçue jusqu'en 1950, année où Hodge est invité comme conférencier au Congrès International des Mathématiciens (ICM) qui se tenait à Cambridge (États-Unis). Il y expose l'état de ses recherches et présente de nouveau sa conjecture. Cet exposé, face aux plus grands mathématiciens de la planète, sera le point de départ de travaux acharnés pour en apporter la preuve.

Il ne s'agit pas de développer ce sujet d'une très grande grande complexité dont l'auteur de ces lignes n'est en rien connaisseur. On pourra consulter le document intitulé Algèbres de cohomologie et cycles des variétés algébriques et kählériennes ( fichier pdf, §3, réf.3), écrit par François Charles (en collaboration avec Claire Voisin), qui énonce la conjecture de Hodge sous la forme suivante :

X désignant une variété projective lisse sur C, on appelle cycle (algébrique) de X une combinaison linéaire à coefficients entiers de sous-variétés irréductibles de X (sous-variétés dont l'espace topologique sous-jacent n'est pas réunion de deux fermés disjoints non vides). La classe de cohomologie d'un cycle de codimension k de X est une classe rationnelle de type (k,k) : on parle de classe de Hodge.

Conjecture de Hodge :   

Toute classe de Hodge est une classe de cohomologie d'un cycle à coefficients rationnels

La conjecture de Hodge fait partie des 7 problèmes à un million de dollars proposés en l'an 2000 par le Clay Mathematics Institute.

  Erich Kähler : mathématicien allemand (1906-2000), natif de Leipzig, il y fit ses études et y obtint son doctorat. Il professa à Leipzig, Berlin et Hambourg. Ses travaux portèrent sur la géométrie différentielle et algébrique.

  Kodaira , Claire Voisin


 Pour en savoir plus :

  1. Biographie et travaux de William V. D. Hodge par Michael Atiyah : http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/hodgers.pdf
  2. Algèbres de cohomologie et cycles des variétés algébriques et kählériennes, par François Charles :
    ..\pdf\varietes_algebriques_Hodge_Charles.pdf
  3. Sur la cohomologie des variétés kählériennes et projectives, par Claire Voisin, diapos pour la journée d'inauguration de la
    Fondation Jacques Hadamard : http://95.142.164.215/sites/default/files/files/Inaug/C-Voisin-InaugFMJH.pdf
  4. The topological invariants of algebraic varieties (1950), par William V. D. Hodge, sur le site Mathunion de l'ICM :
    http://www.mathunion.org/ICM/ICM1950.1/Main/icm1950.1.0182.0192.ocr.pdf
  5. Géométrie de Kähler (variétés kählériennes) par Irène Pasquinelli (CMLS) :
    http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/voisin/Articlesweb/Kahler.pdf


Delsarte Kolmogorov 
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