ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Projection (ou perspective) centrale plane #2      
 
     Autre exemple (plus élémentaire) de perspective centrale : x' = 3 , y' = 3y/x

Cet exercice montre en particulier que la projection centrale (réduite ici au cas du plan), également appelée perspective centrale, ne conserve pas les milieux : ce n'est pas une application affine et le calcul de son expression analytique montre effectivement que x' et y' ne sont pas des fonctions affines de x et y mais des fonctions homographiques :   fonction birationnelle.

Dans un repère du plan appelé (P) d'origine O, on considère la droite (d) d'équation  y = -x + 3 et la fonction f de (P) dans lui-même qui à un point M associe, lorsque cela est possible, le point M', intersection de (OM) et (d) : perspective centrale sur (d), de centre O.

On appelle (Δ) la parallèle à (d) passant par O.

1. Quel est l'ensemble de définition de f ? Que peut-on dire de l'ensemble des points de (d) ?

2. Soit A(3/2;3) et B(4;2). Donner les équations des droites (OA) et(OB); en déduire les coordonnées de A' = f(A) et B' = f(B) et vérifier que f ne conserve pas les milieux : le milieu de [A'B'] n'est pas l'image du milieu de [AB].

3.  On pose M(x,y) et M'(x',y'). Vérifier que le calcul de x' et y' en fonction de x et y conduit à l'expression homographique :

x' = 3x/(x + y)   ,   y' = 3y/(x + y)

Retrouver ainsi l'ensemble de définition de f.

4.  Déterminer analytiquement (par le calcul) les points invariants par f.


Solution :   

1. L'intersection de (OM) avec (d) existe (et est unique) si et seulement si (OM) non parallèle à (d). Donc Df = (P) - Δ, où Δ désigne la parallèle à (d) passant par O (seconde bissectrice du repère lorsque ce dernier est orthonormé comme sur la figure considérée). Tout point de (d) a pour image lui-même : les points de (d) sont invariants par f.

2. (OA) passe par l'origine, son équation est donc y = ax avec a = yA/xA, soit y = 2x. De même, celle de (OB) est y = ½x. En résolvant respectivement les équations 2x = -x + 3 et ½x = - x + 3, on obtient les abscisses de A' et B', soit respectivement x = 1 et x = 2.

On en déduit les ordonnées respectives de A' et B' : y = 2x = 2 et y = ½x = 1, soit A'(1;2) et B'(2;1). Le milieu m de [A,B] a pour coordonnées la demi-somme des abscisses et ordonnées de A et B: on obtient m(11/4;5/2). L'équation de (Om) est y = kx avec k = 5/2 ÷ 11/4 = 10/11. L'abscisse de m', image de m, est donnée par le système y = -x + 3 , y = 10x/11. soit x = 11/7.

Or le milieu de [A',B'] a pour coordonnées (3/2;3/2) : distinct de m'.

3. L'équation de la droite (OM) est Y = yX/x, celle de (d) peut s'écrire Y = -X + 3. On en déduit facilement à l'intersection X = x' = 3x/(x + y) et Y = y' = 3y/(x + y) à condition que x + y soit non nul, ce qui exclut la droite d'équation x + y = 0 qui n'est autre que Δ.

x' = 3x/(x + y)   et   y' = 3y/(x + y)

On remarque que x' et y' sont des fonctions homographiques de x et y.

4. M est invariant par f si et seulement si M = M'. Les points invariants par f sont les solutions du système x = x' et y = y' avec la condition x + y non nul. Si x non nul, x' = x équivaut à x + y = 3. De même si y est non nul.

On retrouve ainsi la droite (d). Le x = 0 et y non nul conduit à y = 3; le cas y = 0 et x non nul conduit à x = 3. En définitive, l'ensemble des points invariants est la droite (d).


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