ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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HESSE Otto Ludwig, allemand, 1811-1874

Source éléments biographiques : Deutsche Biographie
       Portrait : Institut Polytechnique de Münich , Histoire de l'Institut

Natif de la célèbre ville universitaire de Königsberg, Hesse y fit tout naturellement des études scientifiques. Jacobi et Bessel, son ami, y enseignent à cette époque et leurs influences seront déterminantes pour le jeune Hesse.

Il s'oriente vers les mathématiques et obtient son doctorat dirigé par Jacobi, portant sur les surfaces algébriques : De octo punctis intersectionis trium superficium secundi ordinis (Sur les 8 points d'intersection de trois surfaces du second ordre, 1840).

Professeur à Königsberg, Hesse poursuivit les enseignements de Jacobi et Bessel (analyse, géométrie, mécanique) avant d'être nommé à Halle en 1855, puis à Heidelberg. En 1868, il intègre le tout nouvel Institut Polytechnique de Münich (Technische Hochschule München), aujourd'hui Université technique de Munich.

Poursuivant des travaux de Plücker, les travaux et publications de Hesse portèrent principalement sur l'étude et la classification des courbes et des surfaces algébriques en appliquant des méthodes nouvelles issues de la notion d'invariant géométrique (et topologique) et de l'algèbre linéaire mis en place par Cayley et Sylvester. Il apparaît ainsi comme un des bâtisseurs de la géométrie algébrique moderne.

Matrice et déterminant de Hesse :

f désignant une fonction numérique (à valeurs dans R) définie sur un ouvert U de Rn et au moins deux fois continument dérivable (ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 existent et sont continues sur U), on se place en un point où le gradient de f est nul (point critique) : f/x1 = f/x2 = ... = f/xn = 0, c'est une condition nécessaire d'extremum :

Formule de Taylor et extremum d'une fonction de plusieurs variables :

Le problème est alors de connaître le comportement de f au voisinage de ce point (minimum, maximum). Lorsqu'il existe des contraintes sur les variables, donc une relation entre les variables, la recherche des extremums d'une fonction de plusieurs variables relève en général du calcul des variations.

On suppose ici les variables indépendantes. Limitons-nous au cas de deux variables (n = 2). Il peut s'agir de l'étude locale d'une surface donnée par une équation de la forme z = f(x,y).

Selon la formule de Taylor, on peut écrire au voisinage d'un point (a,b) :

En cas de point critique, au voisinage de (a,b), on pourra écrire :

Matriciellement, on peut écrire :

En effet, le crochet s'interprète comme le produit de la matrice-ligne (h,k), de dimension 1x2, par la matrice carrée des dérivées partielles (dimension 2x2), laquelle se multiplie par la matrice-colonne transposée de (h,k), de dimension 2x1, pour fournir une forme quadratique du type ah2 + 2bhk + ck2, de dimension 1x1 (nombre réel), où a, b et c sont respectivement les dérivées partielles secondes par rapport à xx, xy et yy.

Cette formulation met en évidence la matrice carrée des dérivées partielles d'ordre 2, dite matrice  de Hesse ou matrice hessienne :

Son déterminant, jouant un rôle important dans l'étude de la nature des points critiques, est appelé déterminant de Hesse.

Poursuite de l'étude et discussion de la nature de l'extremum dans le cas n = 2 :

Dans le cas général d'une fonction numérique définie sur un ouvert U de Rn, de variables x1, x2, ..., xn, on obtiendra la matrice carrée Hesse(f) = (Hij) où Hij est la dérivée partielle seconde par rapport à xi et xj au point a = (a1, a2, ..., an) considéré.

Compte tenu du théorème de Schwarz, la matrice hessienne est une matrice symétrique :

Dans le cas n = 3, eu égard à la théorie, un déterminant positif signifie (par diagonalisation) un produit positif des valeurs propres :  DH = λ1λ2λ3 > 0. La connaissance de la trace (invariante par diagonalisation), TH = λ1 + λ2 + λ3 ne permet pas toujours de conclure.

En effet, p étant positif, deux configurations de signes sont possibles : (+,+,+) ou (-,-,+). Si TH ≤ 0, alors c'est le cas (-,-,+) et on a un point selle. Mais si TH > 0, il s'agit d'un cas ambigu : la valeur propre positive peut l'emporter sur la somme négative des deux autres. On calcule donc les valeurs propres. Si elles sont positives, ce sera un minimum, sinon ce sera un point selle.

  Étude locale d'une fonction de 3 variables

Pour en savoir plus :


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