ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Van der WAERDEN Bartel Leendert, hollandais, 1903-1996 

Esprit brillant, Bartel van der Waerden entreprit des études de mathématiques à l'âge de 16 ans. Diplômé des universités d'Amsterdam et de Göttingen, il enseigna principalement à Leipzig (Allemagne), Amsterdam et Zürich (Suisse).

S'inscrivant, avec Artin et Emmy Noether, dans ce qu'on appela l'École mathématique allemande, cet éminent algébriste fut l'auteur (1930-31) d'un important traité sur l'Algèbre moderne et ses fondements, publié à Göttingen, dont l'influence fut telle qu'elle incita un groupe de jeunes mathématiciens français à rénover les mathématiques sur des bases axiomatiques rigoureuses : "naissance" de Nicolas Bourbaki en 1935.

Les principaux travaux et résultats de Van der Waerden portent sur la géométrie algébrique (Einfuehrung in der Algebraische Geometrie = Introduction à la géométrie algébrique, 1945), la théorie des nombres, la théorie de Galois, la théorie des groupes, où il apporte une solution partielle au problème de Burnside, l'étude des anneaux de polynômes, le calcul tensoriel. Van der Waerden fut aussi un historien des sciences.

  Enriques , Max Noether , Enriques , Samuel , Hodge , Weil , Zariski , Grothendieck , Voisin

Le 15è problème de Hilbert :

On doit à Bartel van der Waerden une réponse positive (1938-40) au 15è problème de Hilbert :

Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert ?

La solution de Van der Waerden sera complétée par E. T. Bell (1945) et André Weil (1950). Au sens voulu par Hilbert, partisan d'un formalisme reposant sur une axiomatique irréfutable, le problème s'immisçait alors dans le cadre de la géométrie algébrique.

Hermann Schubert (1848-1911), mathématicien allemand qui étudia à Berlin et Halle. Il obtint son doctorat sur le sujet évoqué ci-dessus en 1870. Schubert enseigna en lycée, principalement au Johanneum, un établissement réputé de Hambourg et publia en 1879 : Kalkül der abzählenden Geometrie (Calcul de géométrie énumérative, en accès partiel en allemand sur Google Livres).

La géométrie énumérative :     

Cette géométrie, parente de la géométrie projective, tient son origine du mathématicien allemand Hermann Schubert évoqué ci-dessus qui s'intéressa, dans les années 1870, à des problèmes de dénombrement consistant à rechercher le nombre de cas de type intersection, contact (tangence), appartenance, cardinalité, dimension, degré, etc. entre divers objets géométriques de nature distincte ou non : droites, plans, cercles, sphères, surfaces et plus généralement, aujourd'hui, variétés affines ou projectives.

Le sujet n'était certes pas nouveau, 200 ans avant J.-C., Apollonius de Perge avait abordé le sujet dans son traité des contacts aujourd'hui perdu mais reconstitué par Pappus d'Alexandrie, contenant dix problèmes, dont le 10è, le plus difficile :

Trois cercles sont donnés. Combien peut-on, dans le cas général, construire de cercles distincts tangents à ces derniers ?

La réponse est 8. Plus difficile, car beaucoup plus nombreuses sont les solutions, fut le problème de Steiner :

Dans le cas général, combien existe-t-il de coniques tangentes à cinq coniques données ?

Steiner en avait dénombré plus de 7776. Selon Schaula Fiorelli, dans sa thèse Étude de cercles tangents à des coniques ( réf.4a), la bonne réponse, à savoir 3264, fut apportée par Ernest de Jonquières et Chasles.


Pour en savoir plus :

  1. Introduction à la géométrie algébrique, (variétés algébriques, topologie de Zariski) par Rafael Guglielmetti, École polytech. Lausanne : http://rgug.ch/medias/math/geometrie_algebrique.pdf
  2. Géométrie algébrique élémentaire, par alexis Tchoudjem, univ. Lyon 1 :
    http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/M1/GEO/cours-geo.pdf
  3. Géométrie algébrique réelle, par Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Françoise Roy, Ed. Springer-Verlag (1987) : une grande partie de ce livre est accessible sur Google Livres : https://books.google.fr/books?id=9CuwNR3hHHEC.
      Quelques illuminés proposent ce livre à plus de 400 euros sur Amazon...
  4. Géométrie énumérative :
    a/ Étude de cercles tangents à des conique
    , thèse de Schaula Fiorelli Vilmart, univ. Genève (2009) :
        http://www.unige.ch/~fiorelli/theseSFV.pdf
    b/ Géométries énumératives complexe, réelle et tropicale
    , par Erwan Brugallé (École polytechnique) :
        http://erwan.brugalle.perso.math.cnrs.fr/articles/GeotropUPS/GeotropEnum.pdf
    c/ Énumération de fractions rationnelles réelles, par Jean-Yves Welschinger (ENS Lyon), sur le site Images des mathématiques du CNRS :
        http://images.math.cnrs.fr/Enumeration-de-fractions.html
    d/ Géométrie énumérative et théorie de l'intersection, un exposé de Joachim Kock, univ. du Québec (2002) :
        http://mat.uab.es/~kock/enumgeom/enum-intersec-expo.pdf


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