ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Divergence spirale d'une suite récurrente
 
     Étudier tout d'abord le cas plus simple de la  convergence "spirale"

On se propose d'étudier la suite récurrente (un) définie par :

afin de montrer qu'un calcul naïf de sa "limite" conduit à une erreur mathématique...

1°/  Si la suite possède une limite L, elle vérifie L = 3/(L2 + 1) c'est à dire :

L3 + L - 3 = 0

Montrer que la fonction h : x x3 + x - 3 est strictement croissante et s'annule au voisinage de α = 1,213. 

2°/  Cette valeur positive, acceptable a priori pour L, ne correspond à aucune observation plausible eu égard au graphique fourni par le tableur.

Le mode courbe visualise (ci-dessous) les variations de la suite en reliant les points (n,un). Le graphique montre une "anomalie" :

les valeurs prises par la suite semblent s'accumuler alternativement au voisinage de 2,618... et de 0,38196... Cette alternance nous conduit à penser que les suites extraites vn = u2n et wn = u2n+1 sont convergentes, l'une décroissante, l'autre croissante.

On pose :

Tracer la courbe xf(x) sur l'intervalle [0;3] dans un repère orthonormé d'unité 4 cm. Tracer la droite (d) d'équation y = x.

On a :

La valeur a = 1,213... se retrouve ci-dessus comme abscisse de l'intersection de Cf et de (d). On constate une divergence en spirale avec une accumulation des valeurs au voisinage de 2,6 et 0,4.

Étudions ce phénomène :

3°/  Étudier les variations de f sur l'intervalle J = [0;3]; en déduire les résultats suivants :

4°/  Vérifier que l'on a  u3 > u1 mais u2 < u0 et utilisant que f o f est strictement croissante, prouver que les suites extraites (vn) et (wn) définies pour tout n par vn = u2n et wn = u2n+1 sont respectivement strictement décroissante et strictement croissante.

5°/  Déduire des résultats précédents la convergence des deux suites (vn) et (wn).

6°/  On note respectivement v et w les limites des suites (vn) et (wn). Justifier que ces limites sont distinctes et solutions du système :

Montrer alors que v et w sont les solutions de l'équation x2 - 3x + 1 = 0. 

On a :

Les valeurs v et w sont des points d'accumulation de la suite (un).


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