![]() » Étudier tout d'abord le cas plus simple de la convergence "spirale" |
On se propose d'étudier la suite récurrente (un) définie par :
afin de montrer qu'un calcul naïf de sa "limite" conduit à une erreur mathématique...
1°/ Si la suite possède une limite L, elle vérifie L = 3/(L2 + 1) c'est à dire :
L3 + L - 3 = 0
Montrer que la fonction h : x → x3 + x - 3 est strictement croissante et s'annule au voisinage de α = 1,213.
2°/ Cette valeur positive, acceptable a priori pour L, ne correspond à aucune observation plausible eu égard au graphique fourni par le tableur.
Le mode courbe visualise (ci-dessous) les variations de la suite en reliant les points (n,un). Le graphique montre une "anomalie" :
➔ les valeurs prises par la suite semblent s'accumuler alternativement au voisinage de 2,618... et de 0,38196... Cette alternance nous conduit à penser que les suites extraites vn = u2n et wn = u2n+1 sont convergentes, l'une décroissante, l'autre croissante.
On pose :
Tracer la courbe x → f(x) sur l'intervalle [0;3] dans un repère orthonormé d'unité 4 cm. Tracer la droite (d) d'équation y = x.
On a :
u1 = f(uo) = 1,5; on reporte cette valeur sur (d); on en déduit :
u2 = f(u1); on reporte cette valeur sur (d); on en déduit :
u3 = f(u2); on reporte cette valeur sur (d); on en déduit :
...
un+1 = f(un);
...
Programme JavaScript de contrôle de convergence d'une suite un = f(un-1): »
➔ La valeur a = 1,213... se retrouve ci-dessus comme abscisse de l'intersection de Cf et de (d). On constate une divergence en spirale avec une accumulation des valeurs au voisinage de 2,6 et 0,4.
Étudions ce phénomène :
3°/ Étudier les variations de f sur l'intervalle J = [0;3]; en déduire les résultats suivants :
f(J) ⊂ J;
0 < un < 3 pour tout n de N;
f est strictement décroissante;
f o f est strictement croissante.
4°/ Vérifier que l'on a u3 > u1 mais u2 < u0 et utilisant que f o f est strictement croissante, prouver que les suites extraites (vn) et (wn) définies pour tout n par vn = u2n et wn = u2n+1 sont respectivement strictement décroissante et strictement croissante.
5°/ Déduire des résultats précédents la convergence des deux suites (vn) et (wn).
6°/ On note respectivement v et w les limites des suites (vn) et (wn). Justifier que ces limites sont distinctes et solutions du système :
Montrer alors que v et w sont les solutions de l'équation x2 - 3x + 1 = 0.
On a :
➔ Les valeurs v et w sont des points d'accumulation de la suite (un).