ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ensemble triadique de Cantor   ou  poussière de Cantor

Cantor montre qu'un ensemble ne contenant aucun intervalle et ayant alors l'apparence d'un ensemble infini dénombrable peut cependant avoir la puissance du continu : on considère l'intervalle réel J = [0;1] dans le système de numération à base 3 (tout nombre de J s'écrit au moyen de 0, 1 et 2).

En base 3 :

• l'écriture 0,1 signifie 0 x 3⁰ + 1 x 3^-1 = 1/3;
• 0,001 signifie 0 + 0 x 3^-1 + 0 x 3^-2 + 1 x 3^-3= 1/27;
• 0,2 signifie 0 x 3⁰ + 2 x 3^-1 = 2/3;
• 0,02222222222... signifie : 0 x 3⁰ + 0 x 3^-1 + 2 x (3^-2 + 3^-3 +3^-4 +...)
                                          = 2 x 3^-2 x (1 + 3^--1 + 3^--2+ 3^--3...)
  On reconnaît dans la parenthèse la somme d'une progression géométrique de 1er terme 1, de raison 1/3, de valeur 1/(1-1/3) = 2/3. Par conséquent :

0,02222222222..._{/base 3} = 2/9 x 3/2 = 1/3 = 0,1_{/base 3}

Ce résultat n'est pas vraiment étonnant : tout un chacun sait (et montre facilement comme ci-dessus) que 0,999999999999.... = 1.

∗∗∗
Montrer maintenant de façon analogue que le nombre 0,111111111_{/base 2} n'est autre que 1 et que 0,011111111_{/base 2} n'est autre que 0,1_/base2 = 1/2.

• 0,21 signifie 0 + 2 x 3^-1 + 1 x 3^-2 = 2/3 + 1/9 = 7/9. C'est aussi 0,202222222222222.._{/base 3}   
• Toute écriture se terminant par 1 peut être écrite en remplaçant le 1 par 0222222222222...

Supprimons "au centre" de J, l'intervalle ]0,1 ; 0,2[ : nombres commençant par 0,1.

Il y a donc un trou au milieu de J. Il reste deux intervalles. Réitérons le procédé en supprimant :

• au centre de [0 ; 0,1] , l'intervalle ]0,01 ; 0,02[ :  nombres commençant par 0,01.
• et au centre de [0,2 ; 1] , l'intervalle ]0,21 ; 0,22[ :  nombres commençant par 0,21.

 ➔   Il reste quatre intervalles fermés dont l'écriture des bornes supérieures se terminent par 1; comme dit ci-dessus, on pourra remplacer ce 1 par 0222222222222...

Réitérons le procédé en supprimant :

• au centre de [0 ; 0,01] , l'intervalle ]0,001 ; 0,002[ :  nombres commençant par 0,001.
• au centre de [0,02 ; 0,1] , l'intervalle ]0,021 ; 0,022[ :  nombres commençant par 0,021.
• au centre de [0,2 ; 0,21] , l'intervalle ]0,201 ; 0,202[ :  nombres commençant par 0,201.
• au centre de [0,22 ; 1], l'intervalle ]0,221 ; 0,222[ :  nombres commençant par 0,221.

 ➔   Il reste huit intervalles fermés (4ème ligne discontinue schématisée ci-dessous), dont l'écriture des bornes supérieures se terminent par 1; comme dit ci-dessus, on pourra remplacer ce 1 par 0222222222222... :

En poursuivant sans arrêt le processus de la même façon, on supprimera tous les nombres s'écrivant avec (au moins) un chiffre 1. Il ne restera alors que l'ensemble T des nombres ne s'écrivant qu'avec 0 et 2. On a ainsi construit une partie pour le moins bizarre dont il semble ne rester quasiment "rien" dès la 6ème itération...

Et pourtant, T est loin d'être vide : il n'est même pas dénombrable : on peut effet considérer la fonction qui à tout x de T, x = 0,t₁t₂t₃....t_i.... en base 3, associe le nombre f(x) = 0,d₁d₂d₃....d_i.... en base 2 avec d_i = 0 si t_i = 0 et d_i = 1 si t_i = 2. Cette fonction est manifestement surjective de T sur [0,1]. Donc T a au moins "autant" d'éléments que [0,1]. Or cet intervalle a la puissance du continu. T n'est donc pas dénombrable. Noter que T étant inclus dans [0,1], il ne peut avoir "plus" de points que cet intervalle. T est donc équipotent à [0,1] : il existe une bijection entre T et [0,1].

 ➔   On peut aussi utiliser le procédé de la diagonale de Cantor, prouvant la non dénombrabilité de R, permettrait de conduire à une contradiction :

T est aussi troué de tout partout... : il ne contient aucun intervalle : Considérons en effet un sous-ensemble quelconque U de T, candidat à la qualité d'intervalle de la forme :

U = {x∈T, ∃ a∈T, ∃ b∈T / a < x < b}

La longueur de U est L = b - a. Comme à chaque itération du procédé, la longueur des intervalles restants est divisée par 3, à la n-ème itération, cette longueur est 1/3ⁿ et tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Par suite, quel que soit L, il existe une N-ème itération assurant 1/3^N < L : ce qui signifie que des éléments de U sont dans le "vide". Il y a donc un trou dans U : ce n'est pas un intervalle.

T est un ensemble fermé (compact au sens topologique) : en effet, T n'est autre que l'intersection de tous les intervalles obtenus au cours des itérations successives et toute intersection de compacts est compacte. C'est un ensemble parfait : partie fermée non vide qui coïncide avec l'ensemble T' de ses points d'accumulation.

Karl Weierstrass et la notion de point d'accumulation :  »

En conclusion :    

Cette « poussière de Cantor », qui a donc autant de points que R, a la puissance du continu. Ses parties sont compactes non vides et ne sont pas des intervalles, sa longueur est nulle puisqu'à chaque itération, on perd 1/3 de la longueur : à la n-ème itération, elle est donc de (2/3)ⁿ, soit 0 à la limite. C'est effrayant ! Cet ensemble pathologique est un monstre fractal de dimension fractale log₃2 ≅ 0,631.

On obtient une poussière similaire en dimension 2 en partant d'un carré dont on ôte, à chaque itération, le carré central et les carrés des "tiers médians" :

On obtient, à la limite, un domaine plan non vide, d'aire nulle : à la n-ème itération, l'aire est (4/9)ⁿ. C'est un objet fractal de dimension log₃4 ≅1,262.

C'est un objet fractal de type auto-similaire, de dimension fractale log5/log3 ≅ 1,46 car, à chaque itération un carreau en fournit 5 dans un facteur de réduction de 1/3. En tant que limite à l'infini de (5/9)ⁿ, l'aire "finale" est nulle.