ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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STONE Marshall Harvey, américain, 1903-1989

Étudiant en la célèbre université de Harvard, Marshall Stone obtint son doctorat en 1926 portant sur les équations différentielles : Ordinary Linear Homogeneous Differential Equations of Order n and the Related Expansion Problems.

Après quelques années d'enseignement à Yale et à l'université Columbia de New York, Stone obtient une chaire à Harvard (1937). A l'issue de la seconde guerre mondiale, il dirigera le département de mathématiques de l'université de Chicago avant d'être nommé (1968) à l'université du Massachusetts jusqu'à sa retraite en 1980.

Les recherches de Stone portèrent sur l'analyse fonctionnelle, la théorie des espaces hilbertiens. On lui doit la preuve (1932) d'une difficile conjecture de Weyl portant sur la théorie spectrale (théorie des opérateurs dans un espace de Banach) qui l'amènent (1936-37) à la théorie de la représentation des algèbres de Boole dont les applications touchent à la logique et la topologie générale.

 

Théorème de Sturm-Liouville et théorie spectrale :

Théorème de Stone-Weierstrass :

Stone, dans l'étude des espaces topologiques compacts, donna un énoncé plus général (1937 et 1948) du théorème de Weierstrass, d'où l'appellation double. Les formulations sont nombreuses. La plus accessible est sans doute la suivante, à la manière de Weierstrass :

Si C désigne ici l'algèbre des fonctions numériques continues sur un intervalle I fermé borné de R, alors la sous-algèbre P des polynômes définies sur I est dense dans C pour la norme de la convergence uniforme :


la notation désigne la norme de la convergence uniforme, c'est à dire définie par :

C'est dire, grosso modo, que toute fonction continue sur un intervalle [a,b] peut être approchée aussi près que l'on veut par un polynôme sur cet intervalle. Ce théorème (dans sa formulation générale) est aussi dite de Stone-Gelfand.

  Gelfand       Approximation uniforme par les polynômes de Bernstein  :

Espace de Stone et théorème de Stone (logique algébrique) :

On sait que la plus petite algèbre de Boole (au sens de son nombre d'éléments) est de cardinal 2 : elle se réduit à la paire J = {0,1}, les éléments nul et unité étant alors 0 et 1. Notons (J,+,*,0,1) cette algèbre et Soit (A,+,*,0,1) une algèbre de Boole quelconque dont les lois, pour simplifier, sont notées identiquement.

Définition :    

On appelle espace de Stone de l'algèbre de Boole A l'ensemble des homomorphismes d'algèbres de A sur {0,1}.

Par homomorphisme d'algèbres, on entend comme à l'habitude un homomorphisme de structure, c'est à dire une application h respectant les opérations d'algèbres : h(x + y) = h(x) + h(y), h(x*y) = h(x)*h(y) et vérifiant en outre h(0) = 0 et h(1) = 1. Ces deux dernières conditions n'étant pas nécessairement vérifiées.


Dans le cas d'un homomorphisme d'anneau de Boole, la condition h(0) = 0 est assurée. Pourquoi ?

On note S(A) l'espace de Stone de l'algèbre A. Cet ensemble s'interprète comme un sous-ensemble de {0,1}A, ensemble des application de A vers {0,1}. Si {0,1} est muni de la topologie discrète, S(A) peut être muni de la topologie produit.

Théorème :     

L'espace de Stone d'une algèbre de Boole est un espace topologique compact booléen
(topologie d'ouverts-fermés).

Théorème de Stone :    

Toute algèbre de Boole est isomorphe à l'algèbre de Boole des ouverts-fermés de son espace de Stone

Corollaire :    

Toute algèbre de Boole finie est isomorphe à l'algèbre ((E),,)
des parties d'un ensemble fini E.

En conséquence : le cardinal d'une algèbre de Boole finie est une puissance de 2.  Pascal

N.B. Sur cet important sujet, le lecteur intéressé par la logique mathématique contemporaine trouvera en seconde référence ci-dessous un exposé clair et complet sur les espaces de Stone et leur introduction en tant qu'ensemble des ultrafiltres sur A. Vu sous cet angle, il apparaît que l'algèbre de Lindenbaum s'identifie à son espace de Stone.

La notion de filtre sur une algèbre se distingue de la définition générale à vocation topologique (due à Henri Cartan). Rappelons ici qu'une algèbre (A,+,*,0,1) peut être ordonnée par la relation x y  ssi  x * y = x. La transcription de la notion d'un filtre à l'algèbre A s'écrit :

  1. est un sous-ensemble non vide de A ne contenant pas 0;

  2. Pour tout x de , tout élément y de A tel que x y est élément de : x, x y y;
    Donc 1F en utilisant 1 et la définition de l'ordre.

  3. Si x et y sont éléments de , il en est de même de leur produit : x , y x * y .

La définition d'un ultrafiltre est inchangée : On appelle ultrafiltre sur A tout élément maximal U de l'ensemble ordonné (au sens de l'inclusion) des filtres sur A.


Pour en savoir plus :


Markov A. A. jr  Van der Waerden
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