ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Spirale de Cotes
» spirale parabolique (dite de Fermat) , spirale logarithmique , épispirales ∗∗∗ cercle asymptote |
Cette belle courbe est aussi appelée lituus, nom latin désignant le bâton sacré des augures (d'origine étrusque) se terminant par une crosse spiralée tel, encore aujourd'hui, celui des évêques. Mot proche : liturgie. Elle fut étudiée par Cotes (Harmonia mensurarum, posthume 1722).
Dans un repère orthonormé, elle est définie en coordonnées polaires comme l'ensemble des points du plan tels que l'aire du secteur circulaire bleu OMA soit constante.
Soit k cette constante non nulle; posons r = OM et notons t l'angle polaire de M, exprimé en radians et ramené à [O;2π]; l'aire du secteur bleu est r2t/2 = k. L'équation, en coordonnées polaires de cette spirale est alors :
La spirale de Cotes est l'inverse de la spirale de Fermat. Elle admet l'origine comme point asymptote car r tend vers 0 pour t infini. L'axe x'x est une droite asymptote au voisinage de t = 0.
En effet, en passant aux coordonnées paramétriques (x = r.cos t, y = r.sin t), on a ici :
Si t tend vers 0 par valeurs positives, cos(t) tend vers 1 et sin(t)/t tend vers 1, par suite x tend vers +∞ et en écrivant :
y = a.sin(t)/√t = a.sin(t)/t × √t ,
on voit que y tend vers 0.
r = 4/√t
Autres spirales célèbres : »