ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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BERNSTEIN Sergueï Natanovitch, russe, 1880-1968

  On ne le confondra avec le mathématicien allemand Felix Bernstein.

Serge Bernstein étudia à Göttingen et à Paris, où il obtint un doctorat en 1904 sur les fonctions de variable complexe, le jury comprenait Hilbert et Picard. Bernstein ne s'en tint pas là : il rentre à Kharkov (Ukraine) où il obtient un second doctorat en 1913.

Serge Bernstein enseignera à Kharkov, à Leningrad (qui reprit son nom impérial, Saint-Pétersbourg, en 1991) puis à l'Institut Steklov de mathématiques (Moscou), dès 1943.

Ses travaux portent sur les équations aux dérivées partielles (il donnera une réponse partielle au 19è problème de Hilbert), le calcul des probabilités (essai d'axiomatisation, 1917) et application à la génétique, l'analyse fonctionnelle et l'approximation des fonctions continues par des polynômes (polynômes de Bernstein) lesquels seront utilisés par Stone dans la démonstration de la forme généralisée du théorème dit de Stone-Weierstrass.

On lui doit également (1908) une preuve partielle de la généralisation du problème de Dirichlet (20è problème de Hilbert).

Kolmogorov et l'axiomatisation des espaces probabilisés :

Polynômes de Bernstein :

Ces polynômes constituent, d'une façon générale, une base (Bn) des polynômes d'une variable réelle de degré n et sont définis par :

  • Bo(t) = (1 - t)n
  • B1(t) = Cn1t(1 - t)n-1
  • B2(t) = Cn2t2(1 - t)n-2
  • ...
  • Bk(t) = Cnktk(1 - t)n-k
  • ...
  • Bn(t) = tn
On remarquera que si t est un réel de [0,1], Bk(t) correspond à la probabilité binomiale B(n,p) :

Bk(t) = Prob {Bn = k}

On en déduit, dans ce cas, que Σ Bk(t) = 1 pour tout t de [0,1]
(la somme s'étendant de k = 0 à n)

  Ce résultat se retrouve également en développant [t + (1 - t)]n...


Polynômes d'approximation de Bernstein :   

Soit f une fonction continue sur l'intervalle [0,1]. La suite de polynômes Pn(f) définie par :

converge uniformément vers f sur l'intervalle [0,1]. C'est donc dire que pour tout ε > 0, il existe Nε tel que :

n ≥ Nε , x [0,1] , | f(x) - Pn(f)(x) | < ε

Par changement de variable affine, le résultat peut se prolonger à une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b]. Ces polynômes apportent une preuve du théorème de Weierstrass (1885), également dit de Stone. A ce sujet, on pourra consulter avec profit les deux références proposées in fine.

 Théorème de Stone-Weierstrass :                       Courbes de Bézier :

  Pour en savoir plus :

  1. Polynômes de Bernstein et applications, une introduction en termes probabilistes, page de Daniel Agier (académie de Grenoble) :
    http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/maths/pages/PM/Ressources/25/FicheProfesseurPolynomesDeBernstein.pdf

  2. Polynômes de Bernstein : page de Jean-Louis Rouget sur les polynômes de Bernstein et leur application au théorème ci-dessus :
    http://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/Polynomes/PolynomesBernstein.pdf


Hahn  Fejér
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