ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BERNSTEIN Sergueï Natanovitch, russe (ukrainien), 1880-1968

  On ne le confondra avec le mathématicien allemand Felix Bernstein.

Né à Odessa (en Ukraine, au bord de la mer Noire), Serge Bernstein étudia à Göttingen et à Paris où il présenta (1904) une thèse intitulée Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre obtenant un premier doctorat dont le jury comprenait Hilbert et Picard. Bernstein ne s'en tint pas là : rentré à Kharkov (Ukraine) en 1907, il obtient un poste d'enseignant et un second doctorat en 1913.

En 1933, Serge Bernstein enseigna ensuite à Leningrad (qui reprit son nom impérial, Saint-Pétersbourg, en 1991) et à l'Institut Steklov de mathématiques de Moscou, dès 1943.

Dans le prolongement de sa première thèse, ses travaux portèrent sur les équations aux dérivées partielles (il donnera une réponse partielle au 19è problème de Hilbert), puis le calcul des probabilités (essai d'axiomatisation, 1917) et son application à la génétique, l'analyse fonctionnelle et la recherche de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynômes (polynômes de Bernstein) lesquels seront utilisés par Stone dans la démonstration de la forme généralisée du théorème dit de Stone-Weierstrass.

Il s'intéressa également à la théorie différentielle des surfaces (surfaces minimales). Admiratif des travaux de Tchebychev, il fut à Moscou l'éditeur de ses œuvres déjà publiées en russe et en français par Andreï A. Markov, illustre élève de ce dernier en 1899. On doit également à ce grand mathématicien (1908) une preuve partielle de la généralisation du problème de Dirichlet (20è problème de Hilbert).

Kolmogorov et l'axiomatisation des espaces probabilisés :

Polynômes de Bernstein :

Ces polynômes constituent, d'une façon générale, une base (Bn) des polynômes d'une variable réelle de degré n et sont définis par :

  • Bo(t) = (1 - t)n
  • B1(t) = Cn1t(1 - t)n-1
  • B2(t) = Cn2t2(1 - t)n-2
  • ...
  • Bk(t) = Cnktk(1 - t)n-k
  • ...
  • Bn(t) = tn
On remarquera que si t est un réel de [0,1], Bk(t) correspond à la probabilité binomiale B(n,p) :

Bk(t) = Prob {Bn = k}

On en déduit, dans ce cas, que Σ Bk(t) = 1 pour tout t de [0,1]
(la somme s'étendant de k = 0 à n)

  Ce résultat se retrouve également en développant [t + (1 - t)]n...


Polynômes d'approximation de Bernstein :   

Soit f une fonction continue sur l'intervalle [0,1]. La suite de polynômes Pn(f) définie par :

converge uniformément vers f sur l'intervalle [0,1]. C'est donc dire que pour tout ε > 0, il existe Nε tel que :

n ≥ Nε , x [0,1] , | f(x) - Pn(f)(x) | < ε

Par changement de variable affine, le résultat peut se prolonger à une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b]. Ces polynômes apportent une preuve du théorème de Weierstrass (1885), également dit de Stone. A ce sujet, on pourra consulter avec profit les deux références proposées in fine.

 Théorème de Stone-Weierstrass :                       Courbes de Bézier :

Inégalité de Bernstein :     

Sur l'intervalle [0,1] et plus généralement [-1,1], on peut remplacer la variable x par un cosinus ou un sinus (comme le fit Tchebychev). Bernstein établit (1912) cette inégalité :

Soit Pn le polynôme trigonométrique de la variable θ défini sur l'intervalle J = [0,2π] par :

alors le polynôme dérivé P'n vérifie l'inégalité |P'n(θ)| ≤ nMaxJ |Pn|

Preuve : preuve donnée par Marcel Riesz en réf.3 ci-dessous.


  Pour en savoir plus :

  1. Polynômes de Bernstein et applications, une introduction en termes probabilistes, page de Daniel Agier (académie de Grenoble) :
    http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/maths/pages/PM/Ressources/25/FicheProfesseurPolynomesDeBernstein.pdf

  2. Polynômes de Bernstein : page de Jean-Louis Rouget sur les polynômes de Bernstein et leur application au théorème ci-dessus :
    http://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/Polynomes/PolynomesBernstein.pdf

  3. L'œuvre mathématique de Marcel Riescz, II, 1983 : http://www.numdam.org/article/CSHM_1983__4__1_0.pdf

  4. Sur les polynômes d'approximations par Pierre Montel : http://www.numdam.org/article/BSMF_1918__46__151_1.pdf


Hahn  Fejér
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