ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Développée d'une courbe, cas général   
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Origine de la notion , cas de l'ellipse , cas de la spirale logarithmique       Cas de la tractrice | Autres cas

La développée (Γ) d'une courbe (C), introduite par Huygens, est l'enveloppe de ses normales (les perpendiculaires à ses tangentes) : en chaque point de (Γ), il existe une normale (n) à (C) tangente à (Γ) et toute normale (n) de (C) est une tangente à (Γ) :

Lorsqu'une courbe est définie en coordonnées paramétriques x = x(t) et y = y(t), l'équation de la développée se calcule facilement. Selon un résultat général, l'équation cherchée sera obtenue en résolvant le système constitué de l'équation générale des normales et de son équation dérivée par rapport à t.

On pose x' = dx/dt, y' = dy/dt. Soit M(X,Y) un point de la normale (n) à (C). Une tangente (t) à (C) a pour coefficient directeur y'/x'; par suite, celui de la normale (n) est -x'/y' et son équation est définie par Y - y = -x'/y'(X - x), ce qui peut s'écrire :

y'(Y - y) = x'(x - X)

Dérivons par rapport à t et posons x" = dx'/dt , y" = dy'/dt :

y"(Y - y) - y'2 = x"(x - X) + x'2

Ordonnons le système obtenu par les deux équations ci-dessus :

 x'X + y'Y = xx' + yy'
 x"X + y"Y = xx" + yy" + x'2 + y'2

Posons d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2. On obtient sans difficultés l'équation générale de la développée d'une courbe plane :

X = x - n2y'/dY = y + n2x'/d  avec  d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2
 

Développée de l'ellipse        » animation

Ci-dessus, la développée (en rouge) de l'ellipse (en bleu) d'équation x2/4 + y2 = 1. Une tangente à l'ellipse est représentée en vert avec la normale correspondante, tangente à la développée.

soit, en coordonnées paramétriques :

x = 2cos t , y = sin t

On montrera aisément que la développée a pour équation :

X = 1,5cos3t , Y = -3sin3t

    par symétrie, la développée a aussi pour équation :

X = 1,5cos3t , Y = 3sin3t

Sous cette forme plus agréable, vu que cos2t + sin2 t = 1, on peut écrire :

(X/1,5)2/3 + (Y/3)2/3 = 1

La développée de l'ellipse est donc une courbe de Lamé. Il en est de même de la développée de l'hyperbole, plus difficile d'étude, mais que l'on obtient, avec calme et patience, par un petit artifice d'analyse.

   Plus généralement, on montrera relativement facilement que si l'équation de l'ellipse est donnée sous sa forme centrée réduite, x2/a2 + y2/b2 = 1, l'équation de sa développée est :

Développée de la tractrice     

L'équation paramétrique de la tractrice peut s'écrire, à un coefficient multiplicatif près :

X = tanh t - t , Y = 1/cosh t ,  t décrivant R

Montrer, en utilisant les résultats ci-dessus que sa développée est une chaînette.


La chaînette en tant que développée de la tractrice

Développée de la spirale logarithmique

Selon la théorie exposée ci-dessus, il nous faut évaluer X = x - n2y'/d , Y = y + n2x'/d  avec d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2, sachant que la spirale logarithmique (également dite de Bernoulli) est définie par son équation polaire r = at, a > 0, a ≠ 1. Partant de cette équation polaire, nous exprimons l'équation paramétrique x = atcost et y = atsint. L'exponentielle de base a s'écrit at = et.lna, par suite (at)' = atlna. Un calcul, un peu fastidieux mais simple, conduit à :

On reporte ces calculs dans l'expression de d = x'y" - x"y' et, après simplification, on obtient d = a2t(1 + ln2a). Le calcul de n2 se simplifie aisément et conduit au même résultat :  n2 = a2t(1 + ln2a). Par conséquent X = x - y' et Y = y + x'. Autrement dit :

X = - y×lna , Y = x×lna

On passe donc de la spirale initiale à sa développée par rotation de centre O, d'angle +π/2, suivie d'une homothétie de centre O de rapport lna : il s'agit donc d'une similitude directe de centre O. En conclusion, la développée est encore une spirale de Bernoulli. En interprétation complexe des similitudes, en posant z = x + iy et Z = X + iY, on est en présence de la transformation Z = i.lna×z.

Le graphique ci-après a été obtenu au moyen du logiciel Graphmatica, après de nombreux zooms successifs... :


La spirale initiale est en rose, sa développée en bleu, a = 1.1,  t varie de -7π à +7π

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