ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Développée d'une courbe, cas général   
    
origine de la notion , cas de l'ellipse                     cas de la tractrice , Autres cas

La développée (Γ) d'une courbe (C), introduite par Huygens, est l'enveloppe de ses normales (les perpendiculaires à ses tangentes) : en chaque point de (Γ), il existe une normale (n) à (C) tangente à (Γ) et toute normale (n) de (C) est une tangente à (Γ) :

Lorsqu'une courbe est définie en coordonnées paramétriques x = x(t) et y = y(t), l'équation de la développée se calcule facilement. Selon un résultat général , l'équation cherchée sera obtenue en résolvant le système constitué de l'équation générale des normales et de son équation dérivée par rapport à t.

On pose x' = dx/dt, y' = dy/dt. Soit M(X,Y) un point de la normale (n) à (C). Une tangente (t) à (C) a pour coefficient directeur y'/x'; par suite, celui de la normale (n) est -x'/y' et son équation est définie par Y - y = -x'/y'(X - x), ce qui peut s'écrire :

y'(Y - y) = x'(x - X)

Dérivons par rapport à t et posons x" = dx'/dt , y" = dy'/dt :

y"(Y - y) - y'2 = x"(x - X) + x'2

Ordonnons le système obtenu par les deux équations ci-dessus :

 x'X + y'Y = xx' + yy'
 x"X + y"Y = xx" + yy" + x'2 + y'2

Posons d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2. On obtient sans difficultés l'équation générale de la développée d'une courbe plane :

X = x - n2y'/d  et  Y = y + n2x'/d ,   d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2
 

Développée de l'ellipse        animation

Ci-dessus, la développée (en rouge) de l'ellipse (en bleu) d'équation x2/4 + y2 = 1. Une tangente à l'ellipse est représentée en vert avec la normale correspondante, tangente à la développée.

soit, en coordonnées paramétriques :

x = 2cos t , y = sin t

On montrera aisément que la développée a pour équation :

X = 1,5cos3t , Y = -3sin3t

par symétrie, la développée a aussi pour équation :

X = 1,5cos3t , Y = 3sin3t

Sous cette forme plus agréable, vu que cos2t + sin2 t = 1, on peut écrire :

(X/1,5)2/3 + (Y/3)2/3 = 1


La développée de l'ellipse est donc une
courbe de Lamé. Il en est de même de la développée de l'hyperbole, plus difficile d'étude, mais que l'on obtient, avec calme et patience, par un petit artifice d'analyse.

Plus généralement, on montrera relativement facilement que si l'équation de l'ellipse est donnée sous sa forme centrée réduite, x2/a2 + y2/b2 = 1, l'équation de sa développée est :

Développée de la tractrice     

L'équation paramétrique de la tractrice peut s'écrire, à un coefficient multiplicatif près :

X = tanh t - t , Y = 1/cosh t ,  t décrivant R

Montrer, en utilisant les résultats ci-dessus que sa développée est une chaînette.


La chaînette en tant que développée de la tractrice

Étude de quelques développées dans ChronoMath :           Courbes de Lamé :


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