ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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DINI Ulisse, italien, 1845-1918

Élève de Betti à Pise (Pisa, Italie), Dini étudiera également en France auprès de Hermite et Bertrand et sera nommé professeur à l'université de Pise en 1866.

Après des recherches sur les surfaces en géométrie différentielle, ses travaux s'orientent, dès 1871 sur le calcul intégral et l'analyse fonctionnelle : limites de suites et de séries de fonctions continues, la convergence uniforme.

On doit en particulier à Dini sa Théorie des fonctions d'une variable réelle, important traité publié en 1878.

Suite aux travaux de Abel mettant en cause un résultat de Cauchy selon lequel toute fonction somme d'une série convergente de fonctions continues est elle-même continue, nombreux furent les mathématiciens à s'attaquer aux problèmes de convergence. L'aboutissement de ces travaux sera dans l'émergence de la topologie des espaces métriques.

Contre-exemple d'Abel :   Fréchet :                 Arzela , Ascoli , Volterra , Fredholm

Deux théorèmes de Dini :
  1. Si X est un espace topologique compact et (fn) une suite de fonctions continues de X dans R convergeant simplement vers une fonction f. Si la suite (fn) est monotone et si f est continue sur X, alors la convergence est uniforme.

  1. Si f une fonction numérique bornée sur un intervalle J et si f admet en tout point de J une limite à droite et à gauche, alors f est intégrable sur J.         Intégrale de Riemann

Cas numérique :        

Soit (fn) est une suite de fonctions numériques continues sur un intervalle fermé borné J et convergeant simplement vers une fonction f. Si la suite (fn) est monotone et si f est continue sur J, alors la convergence est uniforme.

Dans son cours d'analyse, Gustave Choquet donne ce contre-exemple d'une suite (fn) définie sur J = [0;1] par :

fn(x) = n2x(1 - nx) sur [0;1/n] et fn(x) = 0 sur ]1/n;1]

C'est une suite de fonctions continues convergeant simplement vers la fonction nulle f : x 0 pour tout x. La convergence n'est pas uniforme puisque, sur J, Sup | fn(x) - f(x) | = n/4 diverge vers +∞.

Le graphique montre que la suite des (fn) n'est pas croissante : on n'a pas, par exemple,  f2 f1 :

Convergence uniforme des suites et des séries :

Surface de Dini :

Surface à courbure négative obtenue par torsion d'une pseudosphère autour de son axe de révolution. La représentation ci-dessous est extraite du site de Xah Lee : A Gallery of famous surfaces.

Pour en savoir plus :


Cantor  Ribaucour
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