ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Von KOCH Helge,
suédois, 1870-1924 |
Après des études de mathématiques à l'université de Stockholm
(sa ville natale)
auprès de Mittag-Leffler, von Koch soutient sa thèse
de doctorat portant sur la résolution des équations différentielles linéaires de
tous ordres au moyen des séries de Laurent (Sur
une application des déterminants infinis à la théorie des éequations
différentielles, 1892, »
réf.1) poursuivant ainsi des travaux de
Poincaré.
Von Koch enseignera alors au département de mathématiques de l'Institut royal de technologie de Stockholm (KTH) puis à l'université (1911) succédant à Mittag-Leffler, prenant, à 65 ans, une retraite bien méritée.
Il s'intéressa aux nombres premiers et à leur distribution (» Acta mathematica, 1901, réf.3a & 3b) dans N afin de tenter de prouver l'hypothèse de Riemann. Malheureusement sans succès car la célèbre conjecture résiste encore (mai 2019) et c'est par sa construction géométrique d'une fonction continue, dérivable en aucun point que Helge von Koch doit sa notoriété :
| L'entrée en scène des courbes fractales : |
Von Koch fut le premier à exhiber (dès 1904) à l'étonnement général, une courbe fermée, continue, dérivable en aucun point, sans point double et de périmètre infini pour une aire intérieure finie, confirmant que le concept de courbe, rénové depuis Jordan, mais remis en cause par Cantor et Dedekind, était encore à (re)définir.
» Il faut rappeler cependant que Bolzano, 70 ans plus tôt, avait construit géométriquement une courbe semblable mais ses travaux ne furent retrouvés qu'en 1921.
Cette courbe, souvent appelée flocon de neige est une courbe fractale, épithète inventé par Benoît Mandelbrot, pour signifier extrêmement irrégulier, fragmenté.
Consulter les pages 147 et suivantes de l'article de von
Koch (»
réf.2)
Il est facile de construire les premières approches de cette courbe :
tracez un triangle équilatéral ABC de côté a;
sur chaque côté, comme [AB], construisez, "au milieu" et à l'extérieur, les triangles équilatéraux de côté a/3.
Gommez maintenant les bases de ces triangles comme [JK] :
Réitérer cette construction sur chaque côté des triangles ainsi formés;
Réitérer indéfiniment la construction sur chaque nouveau segment de la figure, ...
Au bout de n = 2, 3, 4, 5 itérations, chaque côté devient une ligne brisée de 42 = 16, 43 = 64, 44 = 256, 45 = 1024 "morceaux" :
On obtient une "courbe" fermée dont le périmètre est 3a × (4/3)n, lequel devient infini en tant que limite d'une suite géométrique de raison 4/3 > 1. Cette courbe ne possède aucun point double (elle ne repasse pas sur elle-même). De périmètre infini, elle possède cependant une aire intérieure finie, à savoir :
A = a√3/4 + 3 × (a/3)2√3/4
+ 9 × (a/9)2√3/4
+ ... + 3n × (a/3n)2√3/4
+ ...
A = a√3/4 × (1
+1/3 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/3n ...).
La parenthèse est la somme d'une série
géométrique de raison 1/3, donc :
A = a√3/4 × 1/(1 - 1/3) = 3a√3/8.
Ce qui représente 1,5 fois (3/2) l'aire du triangle initial. Sa dimension fractale est log4/log3 ≅ 1,262. Les approches ci-dessus ont été tracées à l'époque héroïque du langage BASIC de Microsoft qui avait l'immense avantage, contrairement à JavaScript, de posséder des instructions graphiques puissantes et très simples à mettre en œuvre.
Programmation du flocon : » Cristaux : »
» Sierpinski , ensemble triadique de Cantor , courbe de Peano , ...
➔ Pour en savoir plus :
Borel