ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Corps valué, valeur absolue
»
Valeur absolue dans R, approche collège,
lycée | Cas des nombres complexesCorps valué ne signifie pas corps muni d'une valuation : » nombres p-adiques |
Considérons un
corps commutatif (K,+,×)d'élément nul θ d'élément unité I; K est dit valué lorsqu'il est muni d'une application v :
K
→ R+ appelée
valeur absolue, telle que :
∀x, v(x) ≥ 0 et v(x) = 0 si et seulement si x = θ
∀ x, ∀y : v(x × y) = v(x).v(y)
∀ x, ∀y : v(x + y) ≤ v(x) + v(y)
Dans le cas de R
muni de la valeur
absolue usuelle |x|= Max(x,-x) on écrirait :
1) | x | ≥ 0 et v(x) = 0 si et seulement si x
= 0 ; 2) | x × y | = | x | × | y | ;
3) | x + y | ≤ | x | + | y |.
L'application v : v : K → R+ définie par v(x) = I si x ne θ et v(θ) = θ est une valeur absolue sur K, dite triviale : tout corps peut donc être valué.
Dans C, le module d'un nombre complexe z = x + iy défini par v(z) = (x2 + y2)1/2 est une valeur absolue (» ordre total dans C).
➔ Afin de développements plus subtils, certains auteurs exigent la continuité des opérations (addition et multiplication) de K et de l'application x → x-1 (passage à l'inverse pour tout x ≠ θ) et le groupe R+ des réels positifs peut être plus généralement remplacé par un groupe commutatif totalement ordonné !
♦ Notations :
x' le symétrique de x dans le groupe additif (K,+); si K = R, il s'agira de -x;
x-1 est l'inverse de x, x ≠ θ, dans le groupe multiplicatif (K*,×); si K = R, il s'agira de 1/x;
xy le produit x × y de x et y dans (K,×) et x/y est celui de x par 1/y.
♦ Proposition 1 :
∀ x,∀ y ≠ θ : v(x
y-1) =
v(x)/v(y) et v(I) =
I ; dans le cas de R : |x/y| =
|x|/|y|
et |1| = 1.
Preuve : (xy-1) × y = x, donc v(x) = v(xy-1 × y) = v(xy-1) × v(y), soit v(xy-1) = v(x)/v(y). Concernant v(I), utiliser I = I/I.
♦ Proposition 2 :
∀ x : v(x) =
v(x') ;
dans le cas de R : |x| = |-x|.
Preuve : x + x' = θ donc (x + x') × x' = xx' + x'x' = θ; de même (x + x') × x = xx + x'x = θ. Vu que xx' = x'x, on a, par différence xx = x'x'; d'où v(xx) = v(x'x') et, par suite, v(x)2 = v(x')2; une valeur absolue étant positive : v(x) = v(x').
♦ Proposition 3 :
∀ x,∀ y : v(x + y') ≤
v(x) + v(y) ;
dans le cas de R : |x - y|
≤
|x| + |y|.
Preuve :
selon l'axiome 3 de la définition, on a v(x + y') ≤
v(x) + v(y')
et on applique la proposition 2.
♦ Proposition 4 :
On suppose désormais que le groupe additif (K,+) est totalement ordonné par la relation d'ordre ‹ : deux éléments étant donnés dans K, on a x ‹ y ou y ‹ x. On note x' le symétrique de x dans (K,+). L'application v : K → R+ définie par :
(p4)
est une valeur absolue sur K.
➔ Pour x non nul, v(x) est ainsi le "plus grand" des deux éléments x et x', si x = θ, alors x = x' et v(x) = θ.
♦ Proposition 5 :
La valeur absolue définie en (p4) ci-dessus revient à exprimer que :
si θ ‹ x, alors v(x) = x, sinon v(x) = x' ; dans le cas de R : si x ≥ 0, alors |x| = x, sinon |x| = - x
♦ Remarque :
En posant d(x,x') = | x - x' |, on définit une distance d dans K, donc une métrique.
Notion de distance, inégalités triangulaires, espaces métriques : »
|
Qu'en est-il d'une valeur absolue dans le corps C des nombres complexes ? |
Il n'y a pas de valeur absolue dans l'ensemble C des nombres complexes au sens de celle définie ci-dessus (proposition 4) dans un groupe commutatif totalement ordonné car il n'existe dans C aucun ordre compatible avec ses lois (» ordre dans C). Mais ce dernier est cependant un corps valué :
Si z est un nombre complexe écrit sous la forme z = x + iy avec i2 = -1, le nombre réel positif défini par :
est une valeur absolue dans C coïncidant avec la valeur absolue usuelle de R (» proposition 5) lorsque z est réel ou imaginaire pur, raison pour laquelle, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on la note | z |
Preuve :
l'axiome 1 de la
définition est vérifié.
Pour les axiomes 2 et 3, travaillant dans R+, on peut comparer les
carrés.
Le second exprime la compatibilité avec le produit. Soit z = x + iy et
z' = x' + iy'; on a v(zz')2 = (xx' - yy')2 + (xy' + x'y)2
et [v(z)v(z')]2 = (x2 + y2)(x'2 + y'2);
on a l'égalité cherchée car les doubles produits s'éliminent dans
v(zz')2.
L'axiome 3 exprime la
sous-additivité : [v(z + z')]2 = (x + x')2 + (y + y')2
= x2 + y2 + x'2 +
y'2 + 2xx' + 2yy' et [v(z) + v(z')]2 = x2 + y2 + x'2 +
y'2 + 2√[(x2 + y2)(x'2 + y'2)];
les carrés s'éliminant, on doit prouver xx' + yy' ≤ √[(x2 + y2)(x'2 + y'2)];
élevons encore au carré, on est ramené à (xy' - yx')2 ≥ 0, ce qui
est vrai.
Remarques :
Si M(x,y) est l'image du nombre complexe z = x + iy dans le plan d'Argand-Cauchy (plan complexe), le module de z s'interprète géométriquement comme la distance de O à M.
z = x + iy et son conjugé z = x - iy ont même module.
|
Interprétation de la valeur absolue sur la droite numérique : |
La relation ‹ du cas général est ici l'ordre usuel des nombres réels (ensemble R) dont Z, ensemble des entiers relatifs, et Q, ensemble des nombres rationnels, font partie. Prendre la valeur absolue d'un nombre consiste à le priver de son signe : un nombre positif coïncide avec sa valeur absolue; la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé :
C'est à Weierstrass que l'on doit la notation | x | pour la valeur absolue d'un nombre réel x.
Deux types d'équations usuelles :
• Le cas | A | = | B | est très simple à résoudre : il équivaut à :
(A = B) ou (A = - B)
• Le cas | A | = B est plus subtil car il faut poser des conditions supplémentaires. Il équivaut à :
(A ≥ 0 et A = B) ou (A ≤ 0 et - A = B)
On peut préférer écrire :
(B ≥ 0 et A = B) ou (B ≥ 0 et - A = B)
∗∗∗
1. Simplifier les écritures suivantes en conservant au
plus une valeur absolue :
a) x > 0 et | -x | = 6
b) x < -1 et | x
+ 1 | = x c)
x > 4 et |2x - 7 | = |2x - 9 | d) | x + 1 | = | 2x |
Rép :
a) x = 6
b) x < -1 et - x - 1 = x
c) x > 4 et 2x - 7 =
|2x - 9 | d) x + 1 = 2x ou x + 1 = -2x
∗∗∗
2. Résoudre les équations suivantes :
a) | -x | = -6
b) | x - 1 | =
2x - 3 c)
|2x - 5 | = |2x - 7 |
d) ln |x2
- 2| = 1
e)
| 2x - 1| = 3x - 4
f)
| x2 + x | =
| 3x2 - 7x |
Rép :
a) pas de solutions
b) x = 2
(x = 4/3 ne convient pas)
c)
-5 = - 7 ou 2x - 5 = -2x + 7, donc x = 3
d) voir
ici
e) x = 3
(x = 1 n'est pas acceptable)
f) Trois solutions : x = 0, x
= 4 ou x = 3/2.
Gaine électrique et valeur absolue... : »
3. Trouver un système d'inéquations
minimal (le moins d'inéquations possibles) faisant usage de la valeur absolue
et dont les solutions sont les points intérieurs à l'octogone
ci-dessous
:
Résoudre des inéquations :
Sur une droite graduée, d'origine O, la valeur absolue d'un nombre A représente sa distance par rapport à l'origine :
Dire | A | < k, avec k positif, signifie -k < A < k.
Dire | A | > k (k positif) signifie donc A < - k ou bien A > k.
Un cas plus délicat, dans le cadre de la résolution des inéquations d'inconnue x, est | A(x) | < | B(x) | où A et B sont des expressions dépendant de x. Compte tenu de ci-dessus :
Si B(x) ≥ 0, alors -B(x) < A(x) < B(x) : on résout -B(x) < A(x) puis A(x) < B(x) et on prend l'intersection des ensembles de valeurs acceptables trouvées.
Si B(x) ≤ 0, alors, vu ci-dessus, B(x) < A(x) < - B(x) : on résout de même séparément les deux inégalités B(x) < A(x) et A(x) < - B(x) et on prend l'intersection des ensembles de valeurs acceptables trouvées.
La solution sera la réunion des deux ensembles découverts dans chaque cas. On peut aussi faire un tableau de signes, souvent suggéré au lycée :
∗∗∗
Résoudre dans R, l'inéquation (niveau
2nde/1ère) : |2x - 7 |
≤ |
x - 1 |
Rép : méthode 1/
x - 1 change de signe en x = 1. Le cas x
≥ 1 conduit
à x ≤ 6 et x
≥ 8/3 donc à
8/3 ≤ x
≤ 6. Le cas
x ≤ 1
conduit à x ≤
8/3 et x ≥ 6
: incompatible. La solution est donc l'ensemble des éléments x de l'intervalle
[8/3, 6].
Méthode 2/ 2x - 7
≥ 0
⇔ x
≥ 7/2. On
dresse le tableau de signes, on résout l'inéquation résultante dans chaque case
:
On retrouve la solution [8/3, 6].
Autres exemples de résolution d'inéquations avec valeurs absolues : »
➔ Pour en savoir plus :
Leçons d'Algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961
