ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Valeur absolue - valuation - Distance      définition élémentaire

D'une façon générale, dans un groupe commutatif G totalement ordonné par la relation , si x désigne un élément de G dont le symétrique est noté x', on appelle valeur absolue de x et l'on note | x |, le plus grand des deux éléments x et x' :

Cela revient à dire, en désignant par e l'élément neutre du groupe :

Propriétés élémentaires (cas général) :    

Corps valué,  valuation :   

On dit qu'un corps K d'élément nul θ est valué lorsqu'il est muni d'une application v : K R+ qui à tout x associe le réel positif v(x) :

a) v(x) = 0 si et seulement si x = θ      b) v(xx')  = v(x).v(x')|       c)  v(x + x') v(x) + v(x')

Avec la notation de la valeur absolue usuelle de R :

a) | x | = 0 si et seulement si x = 0      b) | xx' | = | x |.| x' |       c)  | x + x' | | x | + | x' |

Pour des développements plus subtils, certains auteurs exigent que K soit un corps topologique : corps dont les opérations (addition et multiplication) et l'application x x-1 (passage à l'inverse) sont continues (θ excepté dans ce dernier cas). le groupe R+ des réels positifs peut être plus généralement remplacé par un groupe totalement ordonné.

On définit une distance d dans K, donc une métrique, en posant d(x , x') = | x - x' |. Cette valeur absolue sera dite ultramétrique si elle vérifie de plus :  | x + x' | Max[| x |,| x' |].

Une valuation sur K est une application V de K-{θ} dans R telle que V(xy) = V(x) + V(y) et V(x + y) Min[V(x),V(y)].

 
Montrer que dans le cas d'un corps valué, V(x) = 1/ln |x| est une valuation.

 

Interprétation de la valeur absolue sur la droite numérique :

La relation du cas général est ici l'ordre usuel des nombres réels (ensemble R) dont Z, ensemble des entiers relatifs, et Q, ensemble des nombres rationnels, font partie. Prendre la valeur absolue d'un nombre consiste à le priver de son signe : un nombre positif coïncide avec sa valeur absolue; la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé :

C'est à Weierstrass que l'on doit la notation | x | pour la valeur absolue d'un nombre réel x.

Deux types d'équations usuelles :    

  Le cas | A | = | B | est très simple à résoudre : il équivaut à :

(A = B) ou (A = -B)

  Le cas | A | = B est plus subtil car il faut poser des conditions supplémentaires. Il équivaut à :

(A 0 et A = B)  ou  (A 0 et -A = B)

                      On peut préférer écrire :

(B 0 et A = B)  ou  (B 0 et -A = B)


1. Simplifier les écritures suivantes en conservant au plus une valeur absolue :
a)
  x > 0 et | -x | = 6      b)  x < -1 et | x + 1 | = x     c)  x > 4 et |2x - 7 | = |2x - 9 |     d) | x + 1 | = | 2x |
Rép : a)  x = 6      b)  x < -1 et - x - 1 = x    c)  x > 4 et  2x - 7 =  |2x - 9 |      d) x + 1 = 2x  ou  x + 1 = -2x


2. Résoudre les équations suivantes :
a)
  | -x | = -6          b)  | x - 1 | = 2x - 3        c)  |2x - 5 | = |2x - 7 |      
d)  ln |x2 - 2| = 1        e)  | 2x - 1| = 3x - 4         f)   | x2 + x | = | 3x2 - 7x |
Rép : a)  pas de solutions    b)   x = 2  (x = 4/3 ne convient pas)       c)  -5 = - 7 ou 2x - 5 = -2x + 7, donc x = 3      d) voir ici
e) x = 3  (x = 1 n'est pas acceptable)           f) Trois solutions : x = 0, x = 4 ou x = 3/2.

  Gaine électrique et valeur absolue...

3. Trouver un système d'inéquations minimal (le moins d'inéquations possibles) faisant usage de la valeur absolue
et dont les solutions sont les points intérieurs à l'octogone ci-dessous :

      

 

Résoudre des inéquations :     

Sur une droite graduée, d'origine O, la valeur absolue d'un nombre A représente sa distance par rapport à l'origine :

Un cas plus délicat, dans le cadre de la résolution des inéquations d'inconnue x, est | A(x) | <  | B(x) | où A et B sont des expressions dépendant de x. Compte tenu de ci-dessus :

La solution sera la réunion des deux ensembles découverts dans chaque cas. On peut aussi faire un tableau de signes, souvent suggéré au lycée :


Résoudre dans R, l'inéquation  (niveau 2nde/1ère) :  |2x - 7 |  | x - 1 |
Rép : méthode 1/  x - 1 change de signe en x = 1. Le cas x 1 conduit à x 6 et x 8/3 donc à 8/3 x 6. Le cas x 1 conduit à x 8/3 et x 6 : incompatible. La solution est donc l'ensemble des éléments x de l'intervalle [8/3, 6].
Méthode 2/ 2x - 7 0 x 7/2. On dresse le tableau de signes, on résout l'inéquation résultante dans chaque case :

    On retrouve la solution  [8/3, 6].

Autres exemples de résolution d'inéquations avec valeurs absolues :

 Il n'y a pas de valeur absolue dans C (ensemble des nombres complexes, contenant R) : cet ensemble de nombres, que l'on peut identifier aux points d'un plan, ne peut pas être totalement ordonné. Ne pas confondre le module d'un nombre complexe et la valeur absolue d'un nombre réel (même notation) : si z est un nombre complexe écrit sous la forme z = x + iy avec i2 = -1, alors :

et le nombre réel | z |, module de z, coïncide avec la valeur absolue d'un nombre réel lorsque y = 0 :

Si M(x,y) est l'image du nombre complexe z = x + iy, le module de z s'interprète géométriquement comme la distance de O à M. L'ensemble des points M tels que | z | = k, k positif, est le cercle de centre O de rayon k. Lorsque y = 0, on retrouve  | z | = | x |, valeur absolue de l'abscisse de M sur l'axe des abscisses.

Remarque enfin qu'en posant :

d(x,y) = | x - y |

on définit une distance et une structure d'espace métrique sur R ou C.

 

4. Dans un anneau (A, T, ) totalement ordonné, dont la seconde loi ("multiplication") est ici notée , montrer que pour tout couple (x,y) de A x A, on a :

| x y | = |x| |y|

5. Dans un corps (K, T, ) totalement ordonné, montrer que pour tout couple (x,y) de K x K, on a : | x-1 | = |x|-1   et    | x y-1 | = |x| |y|-1

x-1 et y-1 désignant ici les symétriques (inverses) de x et y pour la loi , y étant supposé non "nul", c'est à dire distinct de e, élément neutre de la loi T.

 En notation multiplicative usuelle (cas de Q ou R), | 1/x | = 1/|x| et | x / y | = |x| / |y| : on retrouve que la valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues).

6. Démontrer que la valeur absolue dans R vérifie l'inégalité triangulaire : | |x| - |y| | | x + y | |x| + |y|

7. On se place dans R (ou Z). Démontrer que la définition usuelle de la valeur absolue donnée par  |x| = x si x ≥ 0,

est équivalente aux 4 conditions suivantes :

 Cette dernière définition n'exige pas un ordre total et peut servir de définition de la valeur absolue dans un anneau A en tant qu'application de A dans R+ vérifiant les 4 conditions ci-dessus.


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