ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Lois de De Morgan (lois de Morgan)» Ou exclusif , Différence symétrique , Tables de vérité (schèmes) |
Si A et B sont deux propositions susceptibles d'être vraies ou fausses, notons nonA (resp. nonB) la négation de A (resp. de B). On nomme lois de Morgan, les deux lois usuelles de logique propositionnelle :
i Les égalités "logiques"ci-dessus, utilisées par ailleurs dans cette page sont en fait des équivalences logiques : au lieu de « égale » on conviendra de lire « revient à dire ». On note généralement cette équivalence au moyen du symbole logique ⇔ (double implication) : dans un raisonnement, il est loisible de remplacer toute proposition A par une proposition B équivalente à A.
➔ La négation d'une proposition P, notée "non P" (ou P à la manière de Boole ou encore ¬ P comme l'écrivait Brouwer) exprime... sa négation, au sens courant. Parler de contraire est à éviter totalement car prêtant à des confusions majeures. La proposition « il fait froid » est-elle la négation de « il fait chaud » ou son contraire ? La négation de « il fait froid » est « il ne fait pas froid », ce qui ne veut pas dire qu'il fait chaud : il peut faire frais, doux, printanier, agréable, etc. C'est dire ici qu'une proposition exprimant un sentiment subjectif n'a pas de valeur logique au sens mathématique. De plus, "contraire" a un sens mathématique : on dit plutôt "contraposé".
Le ou (disjonction, souvent noté ∨, notation de Russel) est ici inclusif : il contient le et (conjonction, souvent noté ∧). C'est là qu'un dessin vaut mieux qu'un long discours comme disait Napoléon et que la logique rejoint les ensembles. Considérons A et B comme parties d'un ensemble E :
L'ellipse A (resp. B) représente les éléments constitutifs de la proposition A (resp. B). Dans le langage des ensembles A et B correspond à l'intersection A∩B des ensembles A et B : ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. A ou B correspond à la réunion A∪B : ensemble des éléments appartenant à A ou à B, éventuellement à A et B.
Les deux lois de Morgan énoncées pour deux propositions A et B se généralisent facilement par récurrence :
non (A1 ou A2 ou A3 ou ...) = (nonA1) et (nonA2) et (nonA3) et (non...
non (A1 et A2 et A3 et ...) = (nonA1) ou (nonA2) ou (nonA3) ou (non... » tables de vérité associée
Le ou exclusif, (soit l'un soit l'autre mais pas les deux à la fois), noté ici ex, a le sens de ou bien ; au sens ensembliste, on peut le représenter ainsi :
On lit sur ce dessin que A ex B = (A et nonB) ou (nonA et B). » table de vérité associée
➔ Pour des raisons plus pratiques que nécessaires, on a créé la différence de A par B comme étant l'ensemble des éléments de A privé de ceux (éventuels) de B. On l'écrit A \ B ou tout simplement A - B. En notant B le complémentaire de B dans E :
au sens ensembliste A - B = A∩B;
au sens logique, A - B = A et nonB;
au sens ensembliste, si B est inclus dans
A, alors A - B est
AB,
complémentaire de B dans A.
∗∗∗
Montrer que si B = {b1, b2, ..., bn}
⊂ A, alors A -
B = ∩[A - {bk}], intersection des A - {bk},
k = 1, 2, ..., n . Rép. : ☼
On voit sur le dessin ci-dessus que A ex B correspond à (A - B)∪(B - A), ensemble appelé différence symétrique de A et B et souvent notée |A - B| ou A Δ B, réunion de A et B privée de l'intersection A et B :
|A - B| = (A - B)∪(B - A) = (A∪B) - A∩B
∗∗∗
1. Définir l'inclusion des ensembles au moyen de
l'ensemble vide et de la différence d'ensembles.
Rép. :
☼
2. Anneau de Boole et
différence symétrique (seconde partie)
|
On peut étudier les lois logiques au moyen des tables de vérité ou schèmes : |
Si on note V pour vrai et F pour faux (on peut opter pour 1 si vrai et 0 si faux), alors pour deux propositions A et B, il y a 4 cas possibles : voici les schèmes de la conjonction, de la disjonction et de la disjonction exclusive (ou bien) dont on prouve qu'elle est équivalente à (A et nonB) ou (B et nonA) :
| A | B | A et B | A ou B | non A | non B | non(A et B) | (nonA) ou (nonA) | non(A ou B) | (nonA) et (nonA) |
| V | V | V | V | F | F | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V | V | F | F |
| F | V | F | V | V | F | V | V | F | F |
| F | F | F | F | V | V | V | V | V | V |
∗∗∗
Dresser la table de vérité de l'incompatibilité entre
A et B, notée A | B (la barre suggère la séparation, symbole de
Sheffer)
et définie comme la négation de A et B, opérateur appelé NAND.
Dresser de même celle de NOR, négation de ou (symbole↓de
Peirce).
Voici les tables de vérité des lois de Morgan :
| A | B | A et B | A ou B | A ou bien B | non A | non B | A et nonB | B et nonA | (A et nonB) ou (B et nonA) |
| V | V | V | V | F | F | F | F | F | F |
| V | F | F | V | V | F | V | V | F | V |
| F | V | F | V | V | V | F | F | V | V |
| F | F | F | F | F | V | V | F | F | F |
