ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Lois de De Morgan  (lois de Morgan)
   
Ou exclusif  , Différence symétrique , Tables de vérité (schèmes)

Si A et B sont deux propositions susceptibles d'être vraies ou fausses, notons nonA (resp. nonB) la négation de A (resp. de B). On nomme lois de Morgan, les deux lois usuelles de logique propositionnelle :

Les égalités ci-dessus sont en fait des équivalences logiques : au lieu de « égale » on peut lire « revient à dire ». On note généralement cette équivalence au moyen du symbole logique (double implication) : dans un raisonnement, il est loisible de remplacer toute proposition A par une proposition B équivalente à A.

Aristote , Frege

La négation d'une proposition P, notée nonP (ou P à la manière de Boole) exprime... sa négation, au sens courant. Éviter de parler de contraire prêtant à des confusions majeures. La proposition « il fait froid » est-elle la négation de « il fait chaud » ou son contraire ? La négation de « il fait froid » est « il ne fait pas froid », ce qui ne veut pas dire qu'il fait chaud : il peut faire frais, doux, printanier, agréable, etc. C'est dire ici qu'une proposition exprimant un sentiment subjectif n'a pas de valeur logique au sens mathématique. De plus, "contraire" a un sens mathématique : on dit plutôt "contraposé".

Le ou (disjonction, souvent noté , notation de Russel) est ici inclusif : il contient le et (conjonction, souvent noté ). C'est là qu'un dessin vaut mieux qu'un long discours comme disait Napoléon et que la logique rejoint les ensembles. Considérons A et B comme parties d'un ensemble E :

 Diagramme de Venn (représentation d'Euler) :   Cantor

L'ellipse A (resp. B) représente les éléments constitutifs de la proposition A (resp. B). Dans le langage des ensembles A et B correspond à l'intersection AB des ensembles A et B : ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. A ou B correspond à la réunion AB : ensemble des éléments appartenant à A ou à B, éventuellement à A et B.

Les deux lois de Morgan énoncées pour deux propositions A et B se généralisent facilement par récurrence :

Le ou exclusif, (soit l'un soit l'autre mais pas les deux à la fois), noté ici    (parfois simplement ex), a le sens de ou bien ; au sens ensembliste, on peut le représenter ainsi :

                  

On lit sur ce dessin que = (A et non B) ou (non A et B).   table de vérité associée

Pour des raisons plus pratiques que nécessaires, on a créé la différence de A par B comme étant l'ensemble des éléments de A privé de ceux (éventuels) de B. On l'écrit A \ B ou tout simplement A - B. En notant B le complémentaire de B dans E :


Montrer que si B = {b1, b2, ..., bn} A, alors A - B = [A - {bk}], intersection des A - {bk}, k = 1, 2, ..., n .
Rép. : 
 

On voit sur le dessin ci-dessus que correspond à (A - B)(B - A), ensemble appelé différence symétrique de A et B et souvent notée |A - B| ou A Δ B, réunion de A et B privée de l'intersection A et B :

|A - B| = (A - B)(B - A) = (AB) - AB


1. Définir l'inclusion des ensembles au moyen de l'ensemble vide et de la différence d'ensembles. Rép. : 
2. Anneau de Boole et différence symétrique (seconde partie)

On peut étudier les lois logiques au moyen des tables de vérité ou schèmes :

Si on note V pour vrai et F pour faux (on peut opter pour 1 si vrai et 0 si faux), alors pour deux propositions A et B, il y a 4 cas possibles : voici les schèmes de la conjonction, de la disjonction et de la disjonction exclusive (ou bien) dont on prouve qu'elle est équivalente à (A et nonB) ou (B et nonA) :

A B A et B A ou B non A non B non(A et B) (nonA) ou (nonA) non(A ou B) (nonA) et (nonA)
V V V V F F F F F F
V F F V F V V V F F
F V F V V F V V F F
F F F F V V V V V V


Dresser la table de vérité de l'incompatibilité entre A et B, notée A | B (la barre suggère la séparation, symbole de Sheffer)
et définie comme la négation de A et B, opérateur appelé NAND.
Dresser de même celle de NOR, négation de ou (symbole de Peirce).

Voici les tables de vérité des lois de Morgan :

A B A et B A ou B A ou bien B non A non B A et nonB B et nonA (A et nonB) ou (B et nonA)
V V V V F F F F F F
V F F V V F V V F V
F V F V V V F F V V
F F F F F V V F F F

On remarquera que l'on peut définir 24 = 16 opérations logiques binaires :


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