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Résolution de l'équation du second degré        degré 1 | degré 3 | degré 4
      
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Une telle équation est de la forme :

ax2 + bx + c = 0

où a, b et c sont des nombres réels ou complexes donnés, a étant non nul. Le membre de gauche est un polynôme du second degré : c'est un trinôme (trois termes) du second degré.

Des résolutions partielles de cette équation apparaissent au fil des âges (en particulier avec Al-Khwarizmi et Abu Kamil au 9è/10è siècle, Savasorda au 11è siècle). La résolution complète apparaît chez Viète avec la présence de solutions négatives cependant considérées comme fausses ! Le statut de nombre pour une quantité négative sera pleinement reconnu grâce à Gauss.

Sinon, on peut écrire :

ax2 + bx + c = a[x2 + bx/a + c/a] = a[( x + ½b/a)2 - ¼b2/a2 + c/a]

En posant Δ = b2 - 4ac, on obtient la forme canonique du trinôme :

        (e)

Le nombre Δ = b2 - 4ac est appelé discriminant de l'équation (appellation due à Sylvester en 1851, du latin discrimen = séparation) : l'étude de son signe permet de conclure quant au nombre et aux valeurs des racines de l'équation.

L'équation est finalement équivalente à :

         (e')

Discussion dans le cas d'une résolution dans R (nombres réels, niveau seconde/1ère) :

L'étude de l'équation (e') ci-dessus permet de distinguer 3 cas :

Δ < 0 : (x + b/2a)2 est alors négatif; par suite il n'y a pas de solution.

Δ = 0 : (x + b/2a)2 est alors nul;  il y a une solution dite double car l'équation est équivalente à :

Δ > 0 : L'équation (e') peut alors s'écrire au moyen de  Δ :

C'est dire que les solutions sont :

     (sol)

Somme et produit des racines :

Notons x' et x'' les solutions de l'équation ax2 + bx + c = 0 lorsqu'elles existent. D'après (e) et (e') ci-dessus, on à l'égalité :

ax2 + bx + c = a(x - x')(x - x'')

Par suite, en développant et en identifiant les deux trinômes, il vient :

Ces formules, que l'on peut aussi obtenir directement à partir de (sol) ci-dessus, sont des fonctions symétriques des racines. Elles permettent de calculer deux nombres connaissant leur somme et leur produit.

Pyramide de nombres #2  équation x2 = A

Triangle égyptien   triangle rectangle dont les côtés sont des entiers consécutifs    

Triangle d'or   propriété de la bissectrice d'un angle, nombre d'or    

Calcul d'un angle #2    système non linéaire - sinus - théorème de Pythagore

Cadastre    somme et produit des racines

Un problème massif     somme et produit des racines

Problème de pommes  équation du second degré

Rues Jeanne et Darc #2  équation du second degré

Trisection d'un terrain   calcul d'aires, équation du second degré de la forme ax2 = b

Taux d'intérêt  calcul d'un taux se ramenant au second degré

Taux d'intérêt (bis)  calcul d'un taux sur 18 mois (intérêts simples)

Résistances  montage en parallèle (somme et produit des racines)

Bassin & allée  équation du second degré

Jardinier & buissons  système du second degré

Abreuvoir  figures homothétiques & second degré

Croisement aérien  second degré et formule d'Al Kashi

  Etude de fonctions trinômes

 
Discussion dans le cas d'une résolution dans C (nombres omplexes) avec a, b et c réels :

Δ < 0 : on peut écrire Δ = i2| Δ |, ce qui nous ramène au cas Δ > 0 précédent. On remarque alors que les solutions sont complexes conjuguées.

Δ = 0 : inchangé.

Δ > 0 : inchangé.

Dans le cas général d'une résolution dans C (nombres complexes) :

Il s'agit de rechercher les racines carrées de Δ, ce que l'on fait soit par une méthode trigonométrique, soit par une méthode algébrique. Si δ est une de ces racines, on a dans tous les cas :

 
1. Résoudre l'équation 2x2 + 6x + 5.   Rép :  x = -3/2 ± i/2

2. Résoudre l'équation x4 = x2 - 1. Rép :  on a x2 = 1/2 ± i3/2 = cosπ/3 ± i.sinπ/3         forme trigonométrique
 d'où x = ± (cosπ/6 + i.sinπ/6) ou x = ± (cos[-π/6] + i.sin[-π/6] ). Finalement : x = ±(3/2 ± i/2)

on a bien 4 solutions conformément au théorème de d'Alembert

Dans le cas, réel ou complexe, où b est facilement divisible par 2 :

En posant b' = b/2, le discriminant Δ = b2 - 4ac peut s'écrire 4(b'2 - ac); on pose alors traditionnellement  Δ' = b'2 - ac : discriminant réduit, et si δ' désigne une racine carrée de Δ' , on obtient une formule simplifiée :

Factorisation :

cas d'une résolution dans R (nombres réels, niveau seconde/1ère) :

et en particulier, si Δ = 0 :

cas d'une résolution dans C : δ désignant une des racines carrées de Δ :

Inéquations du second degré ax2 + bx + c 0 (ou < 0) dans R :

On rencontre par exemple ces inéquations dans l'étude du signe d'une fonction dérivée afin de déterminer le sens de variation d'une fonction :   


1. Résoudre dans R, l'inéquation -5x2 + 2x + 3 0.
 Rép : L'équation -5x2 + 2x + 3 = 0 possède deux solutions x = 1 et x = -3/5.
Le coefficient de x2 est -5 < 0, par conséquent les solutions sont les réels de l'ensemble
]-,-3/5] [1,+[.

2. Résoudre dans R l'inéquation : x3 + x2 - 6x < 0
 Rép : On met x en facteur : x(x2 + x - 6) < 0 et pour plus de clarté, on fait un petit tableau de signes :


les solutions sont donc les réels de l'ensemble ]-,-3[ [0,2].

Équations irrationnelles se ramenant au second degré :

Ces équations peuvent avoir diverses formes. On les résout facilement lorsqu'il est possible d'isoler les radicaux dans un memebre et en élevant au carré en posant les conditions d'équivalence. Par exemple :

  Il s'agit de ne pas oublier de bien poser la (ou les) les condition(s) d'élévation au carré et de vérifier, après résolution, que les solutions trouvées conviennent.

 
   

Rép a/ : on pose la condition 3x - 7 0, soit x 7/3 ; on élève au carré (la positivité de x + 1 sera alors assurée) et on trouve x = 3 ou x = 16/9. Cette dernière solution est à rejeter car 7/3 = 21/9 > 16/9. Seul x = 1 est donc solution de l'équation.

Rép b/ : On pose les conditions 1 - x 0 et 2 + x 0, soit x 1 et  x -2. On élève au carré, ce qui conduit à (1 - x) = x. On élève encore au carré sous la condition x 0 : 1 - x = x2. Cette équation du second degré fournit x = (-1 ± 5)/2. La condition x 0 élimine (-1 - 5)/2. La seconde possibilité (-1 + 5)/2 = (5 - 1)/2 est acceptable : elle vérifie x 1 et bien sûr x -2 puisqu'elle est positive.

On remarquera que les élévations au carré conduisent à respecter les conditions posées préalablement : la 1ère élévation au carré assure la positivité de 2 + x. La seconde élévation au carré assure la positivité de 1 - x. Mais mieux vaut poser les conditions plutôt que de les oublier...


A titre d'exercice complémentaire sur les radicaux : vérifier que  (-1 + 5)/2 est effectivement solution de b)
en remplaçant x par cette valeur dans l'équation initiale.

 

La résolution est laissée au lecteur : la différence par rapport à l'exercice b est une condition supplémentaire : le membre de gauche doit aussi être positif !
Il y a là encore une unique solution : x = (-1 - 5)/2.

Résolution JavaScript de l'équation du second degré à coefficients réels :

Mais une solution rationnelle ne peut pas avoir lieu si le discriminant n'est pas lui-même un carré de rationnel : il ne s'agira alors que d'une approximation rationnelle des solutions.


                   

L'équation du second degré sur tableur :     L'équation du 3ème degré selon Cardan :


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