ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Valeurs propres, vecteurs propres         exercices
    
Polynôme caractéristique | spectre | diagonalisation et triangulation d'une matrice | application aux systèmes différentiels

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire et de déterminant :

  Applications linéaires & matrices , notions sur les déterminants

Soit f une application linéaire, élément de (E,F) où E et F sont des espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. On appelle valeur propre de f, un nombre k de K pour lequel :

il existe un vecteur non nul V de E tel que f(V) = k.V

On dit alors que V est un vecteur propre de f associé à k.

L'avantage majeur de ces concepts sera la possibilité d'étudier une application linéaire, ou tout autre objet lié à une représentation matricielle, dans une représentation simple grâce à un changement de base sur laquelle la restriction de f est une homothétie. Mais cela n'est pas toujours possible : la nature de K (dans la pratique R ou C) joue un rôle capital.

  La notation λ est à la valeur propre ce que x est à l'inconnue ! Sacrifions désormais à cette notation...

  On se restreint désormais au cas d'un endomorphisme (F = E)

Voici quelques résultats, conséquences immédiates de la définition : f désigne un endomorphisme, élément de (E),


f et g désignant deux endomorphismes, montrer que toute valeur propre non nulle de f o g est aussi valeur propre de g o f. Rép. : ici

Théorème 1 :     

λ est une valeur propre de f si et seulement si l'endomorphisme f - λ.idE est non injectif,

Autrement dit, au moyen du noyau d'un endomorphisme, noté Ker :

λ est une valeur propre de f si et seulement si Ker(f - λ.idE) est non réduit à {0E}

Polynôme caractéristique :    

Le déterminant de l'endomorphisme f - λ.idE est un polynôme de variable λ, de degré n : c'est le polynôme caractéristique de f. Il ne dépend pas de la base choisie dans E pour étudier f.

Théorème 2 :      

Lorsque E est de dimension finie n, les valeurs propres λ d'un endomorphisme f de E
sont les zéros du déterminant de f -
λ.idE.

On voit donc que si K = R, un endomorphisme peut ne posséder aucune valeur propre. Par contre si K = C, tout polynôme admet au moins un zéro et, par suite, f admet au moins une valeur propre réelle ou complexe. Si M désigne une matrice carrée, le déterminant de la matrice M - λI, où I désigne la matrice unité, s'appelle encore le polynôme caractéristique de M

Théorème de Cayley-Hamilton :

Spectre d'un endomorphisme :   

L'ensemble des valeurs propres de f (resp. d'une matrice M) est le spectre de f (resp. de M). Un des usages fondamentaux des valeurs et vecteurs propres se rencontre dans la réduction des équations des formes quadratiques.

Diagonalisation d'une matrice, triangulation :

En dimension infinie et dans le cas plus général d'espaces vectoriels normés un complexe λ tel que f - λidE ne soit pas inversible est appelé valeur spectrale. La théorie spectrale est une importante branche de l'analyse fonctionnelle qui s'est développée, en particulier avec Fredholm, Riesz et Sturm, autour de l'étude des solutions des équations intégrales.


Application à la résolution d'un système différentiel linéaire :


1. Soit f  l'endomorphisme de E dont la matrice dans une base B = (i,j) est :

2. E est ici de dimension 3 sur R; B = (i,j,k) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

 
 

3. E est un espace vectoriel quelconque (réel ou complexe).


4. Donner une interprétation géométrique des endomorphismes de l'espace dont les matrices respectives sont :

 

  Pour en savoir plus :


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