ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Valeurs propres, vecteurs propres      
    
diagonalisation et triangulation d'une matrice

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire et de déterminant :

  Applications linéaires & matrices , notions sur les déterminants

Soit f une application linéaire, élément de (E,F) où E et F sont des espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. On appelle valeur propre de f, un nombre k de K pour lequel :

il existe un vecteur non nul V de E tel que f(V) = k.V

On dit alors que V est un vecteur propre de f associé à k.

L'avantage majeur de ces concepts sera la possibilité d'étudier une application linéaire, ou tout autre objet lié à une représentation matricielle, dans une représentation simple grâce à un changement de base sur laquelle la restriction de f est une homothétie. Mais cela n'est pas toujours possible : la nature de K (dans la pratique R ou C) joue un rôle capital.

  La notation λ est à la valeur propre ce que x est à l'inconnue ! Sacrifions désormais à cette notation...

  On se restreint désormais au cas d'un endomorphisme (F = E)

Voici quelques résultats, conséquences immédiates de la définition : f désigne un endomorphisme, élément de (E),


f et g désignant deux endomorphismes, montrer que toute valeur propre non nulle de f o g est aussi valeur propre de g o f. Rép. : ici

Théorème 1 :     

λ est une valeur propre de f si et seulement si l'endomorphisme f - l.idE est non injectif,

Autrement dit, au moyen du noyau d'un endomorphisme, noté Ker :

λ est une valeur propre de f si et seulement si Ker(f - l.idE) est non réduit à {0E}

Le déterminant de l'endomorphisme f - λ.idE est un polynôme de variable l, de degré n : c'est le polynôme caractéristique de f. Il ne dépend pas de la base choisie dans E pour étudier f.

Théorème 2 :      

Lorsque E est de dimension finie n, les valeurs propres l d'un endomorphisme f de E
sont les zéros du déterminant de f - lidE.

On voit donc que si K = R, un endomorphisme peut ne posséder aucune valeur propre. Par contre si K = C, tout polynôme admet au moins un zéro et, par suite, f admet au moins une valeur propre réelle ou complexe. Si M désigne une matrice carrée, le déterminant de la matrice M - lI, où I désigne la matrice unité, s'appelle encore le polynôme caractéristique de M

Théorème de Cayley-Hamilton :

L'ensemble des valeurs propres de f (resp. d'une matrice M) est le spectre de f (resp. de M). Un des usages fondamentaux des valeurs et vecteurs propres se rencontre dans la réduction des équations des formes quadratiques.

Diagonalisation d'une matrice, triangulation :

En dimension infinie et dans le cas plus général d'espaces vectoriels normés un complexe λ tel que f - λidE ne soit pas inversible est appelé valeur spectrale. La théorie spectrale est une importante branche de l'analyse fonctionnelle qui s'est développée, en particulier avec Fredholm, Riesz et Sturm, autour de l'étude des solutions des équations intégrales.

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Résolution d'un système différentiel linéaire  : Un tel système est la donnée de plusieurs équations simultanées (système) où les inconnues x, y, z, ... sont des fonctions d'une variable t et apparaissent, au moins pour l'une d'entre elles, au moyen de leurs dérivées première, seconde, voire n-ème. L'objet de cet exercice est de résoudre le système

x'(t) = -4x(t) + 2y(t)                             système d'ordre 3
y'(t) = 3x(t) + y(t)

Ce système est dit linéaire du 1er ordre car x' et y' sont des fonctions linéaires de x et y.

1. E est de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

 1ère partie :

La matrice D ci-dessus est une matrice diagonale car ses termes non situés sur sa diagonale principale (éléments aii) sont tous nuls. Mais il n'est pas interdit d'avoir des termes nuls sur la diagonale... D'une façon générale, on appelle matrice diagonale, toute matrice carrée (autant de lignes que de colonnes) M = (aij), d'ordre n, pour laquelle aii = 0 quel que soit i = 1,2, ...,n.

Condition suffisante de diagonalisation :

 2ème partie :

M(x,y) désigne un point du plan; ses coordonnées sont des fonctions du temps x = f(t), y = g(t); son vecteur vitesse est V(x',y') où x' et y' désignent f'(t) et g'(t), dérivées de f et g par rapport à t, vérifiant le système différentiel du 1er ordre :

On suppose en outre que x(0) = 0 et y(0) = 7.

       changement de base
x = 2e2t - 2e-5t et y = 6e2t + e-5t

 systèmes différentiels linéaires d'ordre 3 (valeurs propres réelles ou complexes)


2. On suppose ici, avec les notations précédentes, que la matrice de f est :

3. E est de dimension 3 sur R; B = (i,j,k) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

 
 

4. E est un espace vectoriel quelconque (réel ou complexe).


5. Donner une interprétation géométrique des endomorphismes de l'espace dont les matrices respectives sont :

 


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