ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Isométries affines du plan et de l'espace, déplacements et antidéplacements
    
Translations , rotations , symétrie axiale , symétrie glissée , réflexion , antirotation , vissage
            Applications affines (généralités) , similitudes affines , interprétation complexe des similitudes du plan

On suppose ici connus les notions d'application linéaire, d'application affine et leurs propriétés élémentaires. On se place dans le plan ou l'espace euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine O. L'espace vectoriel sous-jacent est E. La distance entre deux points A et B est notée d(A,B), la norme d'un vecteur u est notée ||u|| et si u = AB, on a ||u|| = d(A,B).

On appelle isométrie toute application de dans conservant les distances :

f :   est une isométrie  def  pour tous points A et B :  d(A,B) = d(f(A),f(B))

Afin de simplifier les écritures, dans toute la suite les notations primées comme A', B', u', v', ... désigneront, en l'absence d'ambiguïté,  les images de A, B, u, v, ...par une application. Ci-dessus d(f(A),f(B)) s'écrira simplement d(A',B').

Théorème 1 :     

Toute isométrie de est une bijection affine de dont l'endomorphisme associé φ est une isométrie vectorielle,
c'est à dire un automorphisme (endomorphisme bijectif) vérifiant pour tout u de E : ||u||
= ||φ(u)||

Rappel :   

Munies de la loi de composition des applications, les isométries vectorielles de E constituent un groupe noté O(E), sous-groupe du groupe linéaire  GL(E) des endomorphismes de E.

Le groupe orthogonal O(E) :

Lemme :     

l'isométrie vectorielle φ associée à l'isométrie f définie par φ(OM) = O'M' conserve le produit scalaire et transforme donc une base orthonormée en une base orthonormée.

Preuve : En effet, on a successivement :

||φ(u)|| = ||φ(OM)|| = ||O'M'|| = ||OM|| = ||u||       on voit que φ conserve la norme

u.v = φ(u).φ(v)

Preuve du théorème : plaçons-nous dans le plan : par linéarité cela ne restreindra pas la généralité. Soit (i,j) une base de E. Tout vecteur u s'écrit de façon unique x.i + y.j. Il nous faut montrer que φ(x.i + y.j) = x.φ(i) + y.φ(j).

Or : (φ(i),φ(j) est une base orthonormée et, par suite, il existe x' et y' uniques tels que φ(x.i + y.j) = φ(u) = x'.φ(i) + y'.φ(j). L'application φ conservant le produit scalaire, on a φ(u).φ(i) = u.i. Mais le produit scalaire de gauche est x' et celui de droite est x; de même y' = y : ce qu'il fallait démontrer.

Théorème 2a :   

Muni de la loi de composition des applications, l'ensemble des isométries f :   est un groupe
noté Iso(), sous-groupe du groupe GA() des bijections affines de .

Théorème 2a :   

Soit A donné dans . L'ensemble des isométries f :   laissant A invariant est un sous-groupe de Iso()
isomorphe au groupe orthogonal O(E).

Preuves : fort simples, laissées au lecteur...

Déplacements & antidéplacements du plan et de l'espace euclidiens :

Une isométrie dont l'endomorphisme associé φ est une rotation vectorielle (isométrie positive det φ = +1) est qualifiée de déplacement : elle conserve non seulement les distances mais aussi les angles orientés. On parle encore de rotation (affine). L'identité s'identifie à une rotation d'angle nul.

A contrario, les antidéplacements, comme la symétrie par rapport à un plan, ont pour endomorphisme associé une isométrie négative (det φ = -1); elles changent les angles en leurs opposés.

Déterminant d'un endomorphisme :

Eu égard à det 1 o φ2) = det φ1 x φ2, l'isométrie composée :

Liste des isométries du plan et de l'espace euclidiens :

Généralités :    

  Dans le plan, outre l'identité, les déplacements se résument aux rotations (unique point invariant : le centre de rotation) et aux translations (aucun point invariant).

Les antidéplacements sont constitués des symétries axiales (dont les points invariants sont leur axe) et des symétries glissées (aucun point invariant, composées d'une symétrie axiale et d'une translation).

Un antidéplacement du plan admettant au moins un point invariant est une symétrie axiale.

  Dans l'espace, outre l'identité, les déplacements se résument aux rotations (dont les points invariants constituent leur axe), aux translations (aucun point invariant) et aux vissages (aucun point invariant, composées d'une rotation et d'une translation).

Les antidéplacements sont constitués des réflexions (symétries orthogonales par rapport à un plan constituant leurs points invariants), des symétries glissées (aucun point invariant, composées d'une réflexion et d'une translation) et des antirotations (admettant un unique point invariant, composées d'une rotation et d'une réflexion).

La translation :    

La translation de vecteur donné, comme celle de vecteur AB illustrée ci-dessous est l'isométrie la plus élémentaire. Elle est étudiée ici. C'est un déplacement dont l'endomorphisme associé est l'identité id : vv.


Ci-dessus vous pouvez modifier le vecteur AB et déplacer certains points du  F jaune
dont l'image (le translaté) est le
F rouge.

Translation & addition vectorielle, composée de deux translations :

La symétrie axiale :    

On parle également de symétrie orthogonale par rapport à une droite. C'est une isométrie involutive. Dans le plan, c'est un  antidéplacement; dans l'espace, c'est une rotation d'angle π, donc un déplacement.

Symétrie axiale (exposé élémentaire) :                    Symétrie (oblique) par rapport à une droite :

La réflexion :    

On parle également de symétrie orthogonale par rapport à un plan P. C'est est une isométrie involutive dont l'ensemble des points invariants est P. Il s'agit d'un antidéplacement. Rapportée à une base (u,v,w) où (u,v) dirige P, la matrice de l'endomorphisme associé s'écrit :

                     

La symétrie centrale :    

Dans le plan, il s'agit d'une rotation d'angle π dont l'endomorphisme associé est -idE de déterminant +1. C'est donc un déplacement.

Symétrie centrale (exposé élémentaire) :

Dans l'espace, la symétrie centrale par rapport à un point O, d'endomorphisme associé -idE de déterminant -1, est un antidéplacement. On démontre qu'on peut la décomposer d'une infinité de manières comme composée de trois symétries par rapport à des plans deux à deux perpendiculaires contenant O :

La symétrie glissée (ou symétrie-translation) :  

Dans le plan (resp. l'espace), il s'agit d'un antidéplacement ne possédant aucun  point invariant. Elle s'écrit de façon unique (décomposition canonique) comme composée commutative S o T = T o S d'une symétrie axiale (resp. par rapport à un plan) de direction δ et d'une translation T de vecteur appartenant à δ.


e1) On considère un triangle (quelconque) ABC; soit A' le milieu de [BC], B' et C' les projetés orthogonaux de B et C sur (AA').
Prouver que le quadrilatère BB'CC' est un parallélogramme. BB'CC' peut-il être un losange, un rectangle ?
e2) Prouver que toute isométrie du plan admettant au moins 2 points invariants est soit l'identité id : M M, soit une symétrie axiale.

symétrie glissée #1 | symétrie glissée #2  

La rotation dans le plan (rotation plane) :       

Le plan étant muni d'un repère orthonormé (O,i,j) et ayant fait le choix d'une orientation, on appelle rotation de centre A, d'angle â, l'application du plan qui à tout point M fait correspondre M' tel que ^(AM, AM') = â.

 
Il s'agit d'une isométrie; c'est un
déplacement du plan.

Rappelons ici brièvement que par orientation, on entend que l'on a choisi un sens de rotation positif : c'est celui qui amène i en j par une rotation d'un quart de tour autour de l'origine. Généralement, c'est le sens inverse des aiguilles d'une montre : le célèbre sens trigonométrique... Dans ces conditions, on peut parler d'un angle de 30° ou de - 30°, ou en radians, d'un angle de π/6 ou -π/6. On parle aussi d'angle orienté de vecteurs :

 ^(i, j) = + π/2 , ^(j, i) = - π/2

L'endomorphisme associé est une rotation vectorielle du plan. Lorsque â n'est pas nul, le centre A de la rotation est le seul point invariant.

Théorème 3 :     

Dans le plan euclidien orienté les composées R o S et S o R d'une rotation de centre A et d'une symétrie axiale S d'axe 
 passant par A sont des symétries axiales d'axe contenant A

preuve : S o R et R o S, composées d'un déplacement et d'un antidéplacement du plan sont des antidéplacements. (S o R)(A) = S(A) = A : S o R est un antidéplacement du plan admettant au moins un point invariant. C'est une symétrie axiale. De même pour R o S.

Antirotation :


Dans le plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé (O, i, j), on considère la rotation de centre O, d'angle π/4
et la symétrie axiale S d'axe (O, i). préciser les éléments caractéristiques de S o R et R o S 

Théorème 4 :     

Tout déplacement du plan est la composée de deux symétries orthogonales dont l'une est arbitraire

Exemples illustrés :

La rotation dans l'espace :    

On parle de rotation d'angle â et d'axe δ, ou autour de δ, pour signifier que l'image M' de tout point M s'obtient par rotation plane dans le plan perpendiculaire à δ contenant M.

La droite δ est l'ensemble des points invariants et l'endomorphisme associé est une rotation vectorielle de l'espace.

Théorème 5 :   

Toute rotation d'axe δ, d'angle â, peut se décomposer en un produit de deux réflexions dont les plans s'intersectent en δ. Si α désigne leur angle dièdre (modulo π), on a 2α = â.

Remarquer que dans l'espace, la symétrie axiale (symétrie orthogonale par rapport à une droite) est un déplacement : rotation d'angle π autour de l'axe δ. On parle de demi-tour ou de retournement.


Une application élégante des rotations  | Théorème de Van Aubel
Carré au milieu...  |  C'est bien évident !
| Autre application des rotations

Le vissage :   

Aussi appelé déplacement hélicoïdal, le vissage est une isométrie affine de l'espace sans point invariant dont l'endomorphisme associé est une rotation vectorielle.

 

On démontre qu'elle peut s'écrire comme la composée commutative (décomposition canonique) R o T = T o R d'une rotation d'axe δ et d'une translation dont le vecteur a même direction que δ.

On voit là le lien avec la vis ou le tire-bouchon et, plus mathématiquement, avec l'hélice circulaire.       

décomposition canonique d'un vissage

L'antirotation :    

On nomme parfois ainsi l'isométrie, composé commutatif R o S = S o R d'une rotation R d'axe δ et de la symétrie S (réflexion) par rapport à un plan P orthogonal à δ. Une telle isométrie admet un unique point invariant O, intersection de P et δ.

 
Avec les notations ci-dessus, montrer par des considérations géométriques élémentaires, que l'antirotation s'interprète comme  le composé commutatif
de la rotation d'angle â + π (ou de R suivie du demi-tour d'axe δ) et de la symétrie centrale par rapport à O.

Théorème 6 :      

Les déplacements de l'espace, constitués des translations, des rotations, des vissages et de l'identité forment un sous-groupe
du groupe Iso(
) des isométries de l'espace.

Groupe de symétrie :

Dans un espace affine euclidien E, considérons  une figure F. On appelle groupe de symétrie de F, le sous-groupe des isométries de E laissant F globalement invariante. Ce groupe joue un rôle important dans l'étude des pavages du plan et de l'espace, ainsi qu'en cristallographie.

  Klein et les groupes de transformations , Coxeter et groupe diédral


1. Vissage : Dans l'espace euclidien usuel de dimension 3 rapporté au repère orthonormé (O,i,j,k), on considère la transformation f qui à tout point M(x,y,z) de l'espace associe le point M'(x',y',z') défini par :

x' = - y + 1 , y' = x + 1 , z' = z + 1

a/ Montrer que que l'endomorphisme φ associé à f est une rotation vectorielle d'angle  +π/2.
b/ Justifier que f est un vissage.
c/ Soit t la translation de vecteur k(0,0,1); on pose f = t o r. Montrer que r est la rotation d'axe (d), droite passant par A(0,1,0) dirigée par k : on recherchera les points invariants de r en remarquant que son expression analytique est x' = -y + 1 , y' = x + 1 , z' = z.

2. Un exemple de composé de deux isométries : Dans l'espace euclidien usuel de dimension 3 rapporté à un repère (O,i,j,k), on considère la transformation f qui à tout point M(x,y,z) de l'espace associe le point M'(x',y',z') défini par :

On note S la symétrie orthogonale par rapport au plan (P) d'équation y + z = 1. Montrer que f = S o R, où R est une rotation dont on précisera l'axe.


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