ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Variable aléatoire discrète     Cas d'une variable continue 
      
La loi binomiale , calcul des Prob (B = k), programme JavaScript | loi des grands nombres |

Dans un espace probabilisé fini Ω, à toute éventualité ei on peut associer un nombre réel xi : on définit ainsi une application X de Ω dans R, appelée variable aléatoire (du latin alea = dé (jeu-de) = chance = hasard).

La loi de probabilité de la variable aléatoire X est l'ensemble des couples (xi,pi) où pi = Prob{X = xi} désigne la probabilité de réalisation de l'événement {X = xi}.

Fonction de répartition :    

Dans un problème statistique, on cherche généralement la probabilité qu'une variable aléatoire X soit inférieure ou supérieure à une valeur donnée, ou encore comprise entre deux valeurs données (fourchette). On définit alors sa fonction de répartition F définie de R sur [0,1] par :

F(x) = Prob{X x}

C'est une fonction cumulative : si les xi sont rangés par valeurs croissantes, alors :

   pour tout x < xo, F(x) = 0
  
F(xo) = Prob{X = xo}
   F(x1) = Prob{X = xo} + Prob{X = x1}
   ...
   F(xk) = Prob{X = xo} + ... + Prob{X = xk}
   ...
   F(xn) = 1
   pour tout x > xn, F(x) = 1

On obtient, dans ce cas fini une fonction en escalier. Ci-contre la représentation de la fonction de répartition de la variable X définie par le lancement d'un dé conduisant à un gain relatif de : -1 € si le 1 sort, -2 € si tout autre impair sort, +3 € si le 6 sort et +2 € si tout autre pair sort.

xi /// -2 -1 2 3 ///
pi /// 1/3 1/6 1/3 1/6 ///
F(xi) 0 1/3 1/2 5/6 1 1

Sur le graphique et selon la coutume, le point () signifie une valeur prise effectivement par F, la pointe de flèche inversée signifiant le contraire : F est continue à droite en chaque xi.

La définition s'étend au cas continu, c'est à dire lorsque X peut varier continûment dans un intervalle :

Fonction de répartition d'une variable aléatoire continue :  

La loi binomiale (ou distribution binomiale) :

Dans son Ars conjectandi (1713), Jacques) Bernoulli définit la variable aléatoire qui porte son nom : une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire conduisant à deux éventualités : l'une appelée succès de probabilité p, à laquelle nous associons la valeur 1; l'autre appelée échec de probabilité q = 1 - p, à laquelle nous associons la valeur 0.

On peut définir alors une variable aléatoire X à valeurs dans {0,1}, dite de Bernoulli dont la loi de probabilité se réduit à Prob{X = 1) = p et Prob{X = 0} = q.

Répétons n fois une épreuve de Bernoulli, les épreuves successives étant indépendantes, et notons Xi la variable aléatoire associée à la i-ème expérience. Les lois des Xi sont identiques.

En posant B = X1 + X2 + ... + Xn, Bernoulli invente (découvre, pourrait-on dire) la loi binomiale, souvent notée B(n,p), et l'on a, vu l'indépendance des éventualités :

Prob{B = k} = Cnk x pkqn-k      (pbk)         de Moivre

où Cnk désigne le nombre de combinaisons de k objets parmi n.

L'appellation binomiale est due au lien avec le développement de la formule du binôme de Newton, fournissant (a + b)n : remarquer que la somme des probabilités pour k variant de 0 à n doit être égale à 1; or p + q = 1 et, précisément, selon la célèbre formule :

 (p + q)n = Cno pnqo + Cn1 pn-1q1 + Cn2 pn-2q2 + ... + Cnn-1pqn-1 + Cnn poqn

L'espérance mathématique, valeur moyenne d'une loi binomiale B(n,p) est np. Sa variance est npq.

Notion d'espérance mathématique, variance, écart-type :

Somme de deux variables binomiales :    

Noter que si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux une loi binomiale de paramètres respectifs (n1,p) et (n2,p), alors X + Y suit une loi binomiale de paramètres (n1 + n2, p).


1. On suppose que les probabilités de naissance d'une fille ou d'un garçon sont les mêmes (en fait, un peu plus de garçons : 52%) et qu'il y a indépendance des sexes d'une naissance à l'autre. Dans une famille de quatre enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait deux filles et deux garçons ?     solution

2. Vérifier par un calcul simple au moyen de l'égalité (pbk) ci-dessus ou par récurrence que :


          
Y a-t-il vraiment plus de garçons que de filles ? (loi du khi2) , fille ou garçon ?

          Loi normale (Laplace-Gauss) en tant que "limite" de la loi binomiale :


                              



  De Moivre , Poisson , Gauss

Lois des grands nombres (Bernoulli, Poisson) :              Loi fortes des grands nombres (Borel, Kolmogorov) :


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