ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'hyperboloïde à une nappe en tant que surface réglée
   
Notion de surface

L'hyperboloïde à une nappe est une surface devant son nom au fait qu'il est d'un seul tenant (contrairement à l'yperboloïde à deux nappes) et qu'on peut l'obtenir par rotation d'une branche d'hyperbole. Il est dit réglé car on peut l'obtenir aussi comme enveloppe d'une familles de droites, dites génératrices.

Avec le cylindre et le cône, cet hyperboloïde est une des trois surfaces réglées pouvant être obtenues par révolution.

Par tout point de la surface passe au moins une droite entièrement contenue dans la surface. L'hyperboloïde à une nappe est  une surface doublement réglée : elle peut être engendrée par deux familles distinctes de génératrices.

Cette remarquable propriété lui confère une structure stable et solide, même à grande hauteur (béton armé précontraint par des fers droits suivant deux directions), lui permettant d'être utilisé dans les tours de refroidissement des centrales nucléaires, les châteaux d'eau ( photos ci-après), voire les tabourets "design" des années 70...

Recherche des génératrices :          

L'hyperboloïde est une quadrique (surface algébrique de degré 2) dont l'équation générale est de la forme x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1. On remarque que cette équation peut s'écrire :

(y/b + z/c)(y/b - z/c) = (1 + x/a)(1 - x/a)

Fixons x et soit p un paramètre arbitraire non nul. Les points M vérifiant simultanément :

y/b + z/c = p(1 + x/a)  ,  y/b - z/c = (1 - x/a)/p

sont des points de l'hyperboloïde constituant une droite en tant qu'intersection de deux plans de cette surface. Il en est de même, pour x fixé et tout réel q non nul, des points définis par :

y/b + z/c = q(1 - x/a)  ,  y/b - z/c = (1 + x/a)/q

Les deux familles de droites ainsi reconnues sont disjointes (sinon p = q = 0). L'hyperboloïde apparaît ainsi comme engendré par l'une ou l'autre de ces deux familles.

On peut facilement prouver que l'hyperboloïde ne possède pas d'autres droites que celles exprimées ci-dessus et que toute droite d'une famille coupe toutes les droites de l'autre mais jamais une droite de sa famille.

        
Château d'eau près de Pont d'Isère (Drôme, France).
Les génératrices sont des poutres en béton armé. Une belle application des mathématiques...

Équation paramétrée :       

On vérifiera facilement à partir de l'équation cartésienne précédente qu'une équation paramétrée de l'hyperboloïde est, pour u décrivant R, v décrivant [0,2] et p = (1 + u2)½ :

x = apcosv , y = bpsinv , z = cu

   
Vérifier que l'équation paramétrique x = cosu + v.sinu, y = sinu - v.cosu, z = v définit un hyperboloïde à une nappe en  tant que surface réglée pour u et v convenablement choisis. Préciser les génératrices. Trouver une seconde génération. 

 

Et pour finir en beauté, la magnifique nouvelle tour de Canton en Chine, mise en œuvre en 2005, sa construction n'a duré que 3 ans. Elle culmine à 610 m (455 m + antenne 155 m).Les finitions s'achevèrent en 2009. De type hyperboloïde, sa taille de guêpe est en fait elliptique : la tour est engendrée par une ellipse de base et une seconde plus "petite" à 450 m sur laquelle reposent les génératrices.  L'année de sa finition s'achevait la tour la plus haute du monde à Dubaï : 828 m ! Moins intéressante mathématiquement, elle n'en est pas moins un exploit...


  Hyperboloïde sur YouTube :   hyperboloïdographe , Hyperboloids in Architecture


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