ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Tables de l'anneau Z/3Z et Z/4Z

Muni des lois quotients induites par Z dans les classes résiduelles modulo n, l'ensemble Z/nZ  est un anneau commutatif. La classe d'un entier x de Z sera notée ici x'. Par définition, nous avons :

x' + y' = (x + y)'  et  x'y' = (xy)'

Voici les "tables de Pythagore" de Z/3Z qui est un corps car 3 est premier : anneaux Z/nZ.

On établit facilement de même les table de Pythagore de l'addition et de la multiplication dans Z/4Z :
 

                      

On voit que la multiplication possède un diviseur de zéro : le produit de deux éléments non nuls peut être nul. C'est le cas de 2' dont le "carré" est nul. On note que 1' et de 3' sont leur propre inverse (pour 1' on s'y attendait...). 2' n'a pas d'inverse : il en est ainsi, dans un anneau, de tout diviseur de zéro.

 
Exercice dans Z/6Z : déterminer les entiers naturels n tels que n2 + 2 soit divisible par 6    

Z/4Z et les groupes finis d'ordre 4 :

Klein a montré qu'il n'y a, à un isomorphisme près, que deux groupes finis d'ordre 4. Un isomorphisme de groupe est une bijection f entre deux groupes (G,*) et (H,$) respectant (ainsi que sa réciproque) les opérations de chacun, en ce sens :

si, dans G : z = x * y, alors : f(z) = f(x) $ f(y)

On connaît le groupe cyclique des puissances de i, on peut en effet vérifier que ce groupe est isomorphe à Z/4Z en posant, pour tout x' de ce groupe :

f(x') = ix

Cas du groupe diédral Dn lorsque n = 2 :


© Serge Mehl - www.chronomath.com