ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PEIRCE Charles Sanders, américain, 1839-1914

Fils de l’astronome et mathématicien algébriste Benjamin Peirce, Charles Sanders fut chimiste, philosophe et astronome. Il compléta les travaux de son père sur les algèbres associatives (1882) et se consacrera à la logique mathématique. Il enseigna à l'université de Harvard (Cambridge, USA) et au Lowell Institute de Boston (Massachusetts, USA).

Les travaux de Peirce portent sur la logique (On the algebra of logic, 1885) et les fondements des mathématiques (Studies in logic, 1889), que poursuivront, Russell et Whitehead, à la suite des premiers travaux de logique mathématique dus à Boole. Il est à l'origine du pragmatisme, courant de pensée philosophique.

Travaux en logique mathématique :

Peirce développa, indépendamment de Frege et Schröder en Allemagne, l'usage des quantificateurs dans le calcul des prédicats. Par prédicat, on entend ici des propositions contenant des variables (fonctions propositionnelles) :

Peano :          Prédicat et logique d'Aristote :

Symbole de Peirce :      

Noté , appelé NOR (non ou), équivalent à non (A ou B). On a A B si et seulement si non(A ou B).

Symbole de Sheffer :       

Compatriote de Peirce, Henri Maurice Sheffer (1882-1964), d'origine polonaise, philosophe et logicien, enseigna également à Harvard. Il s'intéressa au connecteur "not and" (non et), noté NAND, et proposa de le noter simplement | (barre verticale). C'est dire que A | B si et seulement si non(A et B).

De nos jours, ces connecteurs ont un rôle important en électricité, dans les circuits intégrés des ordinateurs en particulier. On vérifie facilement que ces lois ne sont pas associatives :

(A | B) | C A | (B | C) et (A B) C A (B C)

Cependant les propositions (A | A) | A et A | (A | A) sont équivalentes à (A ou nonA), donc tautologiques. De même (A A) A et  A (A A).

Montrer que (A | A) | (A | A) et  (A A) (A A) sont équivalentes à A.

On peut prouver que les quatre connecteurs fondamentaux (négation non , disjonction ou, conjonction et, implication) qui gouvernent la logique propositionnelle peuvent être écrites avec le seul connecteur NAND ou le seul connecteur NOR. Par exemple :

  1. nonA non(A et A), donc nonA A | A. C'est aussi A A.

  2. (A ou B) non(nonA et nonB) nonA | nonB (A | A) | (B | B) car selon de Morgan, on a l'équivalence non(A ou B) non(nonA et nonB)

  3. Au moyen de NOR : A ou B s'écrit (A B) (A B)    


a/  Comment s'écrit A et B au moyen de ?          b/  A B s'écrit A | (A | B). Et avec ?...

A vous de jouer... Penser que (AB) peut s'écrire nonA ou B. Rép :

La logique selon Frege :    ,   selon Russel :   ,   selon Hilbert & Ackermann :

On doit aussi à Peirce la notation x remplaçant le 1 - x (aussi noté x') de Boole afin de désigner la négation de x.

Pour en savoir plus, l'interprétation électrique de ces connecteurs :

Ensemble infini :

On attribue à Peirce mais aussi à  Bolzano le théorème, où plutôt la définition axiomatique selon laquelle :

un ensemble est infini s'il peut être mis en bijection avec l'une de ses parties propres

Une partie propre d'un ensemble étant un de ses parties autres que lui-même. Dedekind exprima aussi cette définition sous une forme équivalente relative aux ensembles finis :

Un ensemble est fini si et seulement si toute application injective de E dans E est bijective

Théorème de Peirce :

Il n'y a que trois algèbres associatives sur R sans diviseurs de zéro (si un produit est nul, un des facteurs est nul) : il s'agit de R (nombres réels, de dimension 1 sur lui-même, de C (nombres complexes, de dimension 2 sur R) et de H, corps des quaternions de dimension 4 sur R.

Notion d'algèbre :

  Pour en savoir plus :


Gibbs  Petersen
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