ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Notion d'inéquation, résolution de l'inéquation du 1er degré∗∗∗ Exemples & problèmes » Inéquation du second degré | Équations |
➔ Une lecture efficace de cette page nécessite la bonne connaissance de la résolution de l'équation du 1er degré.
Comme son nom l'indique, une inéquation (mot à mot une non égalité) d'inconnue x est une expression algébrique E(x) pouvant se ramener à la forme E(x) < 0 ou E(x) ≤ 0. Un exemple pourrait être : x∈N , 2x - 7 < 0 dont les solutions sont 0, 1, 2 et 3 : comme pour les équations, il est tout à fait indispensable de savoir dans quel ensemble on recherche des solutions. Écrire 2x - 7 < 0 n'a que peu de sens !
Une inéquation de la forme E(x) > 0 ou E(x) ≥ 0 peut toujours se ramener, on va le voir ci-après à la forme E(x) < 0 ou E(x) ≤ 0.
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Règles pratiques : |
Quel que soit A, quel que soit B :
A < B ⇔ B > A
A < B ⇔ - A > - B (règle des opposés)
Cette règle est fondamentale : si l'on change le signe des deux membres d'une inégalité, le signe d'inégalité doit être inversé. Cela revient à multiplier par - 1. Par suite, face à une inéquation du type E(x) ≥ 0, on pourra, si l'on préfère, l'écrire - E(x) ≤ 0.
Plus généralement :
Si k est un nombre négatif non nul, alors : A < B ⇔ - Ak > - Bk et - A ÷ k > - B ÷ k
Si k est un nombre positif non nul : A < 0 ⇔ Ak < 0 (règle des signes)
Si k est un nombre négatif non nul : A< 0 ⇔ Ak > 0 (règle des signes)
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Règles algébriques de transposition : |
A, B et u désignant des nombres quelconques :
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Présence de valeurs absolues : » la notion de valeur absolue |
D'une façon générale, on se débarrassera des valeurs absolues présentes dans une équation par étude des différents cas amenant à les supprimer. On trouvera des cas d'usage élémentaires se ramenant au 1er degré sur la page traitant la notion de valeur absolue à cet endroit. Voir aussi la page équation.
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niveau seconde
Résoudre dans R les inéquations :
a) | 2x + 3 | > 5
b) | x + 3 |
≤ | 2x
- 3 |
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niveau 1ère
a)
Résoudre dans R, l'inéquation 2x/|x + 1| <
x - 1
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niveau Terminale
b) Résoudre dans R,
l'équation(e) : ln |x2 - 2| = 1
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| Résolution de l'inéquation ax + b < 0 (niveau collège) : |
➔ L'étude qui suit reste bien sûr valable si l'on remplace les signes d'infériorité par les signes de supériorité > ou ≥. Bien remarquer que dire a > b revient à dire b < a. Voir aussi la règle des opposés ci-dessus.
Une inéquation est dite du 1er degré si elle peut se ramener par des transformations régulières (c'est à dire conduisant à une inéquation équivalente) à la forme ax + b < 0 où a et b sont des nombres réels (ou complexes) donnés, a étant non nul. Le membre de gauche est un polynôme du 1er degré : c'est un binôme (deux termes) du premier degré.
A l'exception de cette règle, la résolution d'une inéquation se conduit comme une équation !
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Exemples de résolution : |
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2x - 3 < 0 2x < 3 x < 3/2 |
-3x + 4
< 0 -3x < - 4 3x > 4 (règle des opposés) x > 4/3 |
6x + 3 < 10 -
x 6x + x < 10 - 3 7x < 7 x < 7/7 x < 1 |
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3(x - 2) < 3(x
- 2) 6x - 6 < 3x - 6 6x - 3x < - 6 + 6 3x < 0 x < 0 car 3 >0 (règle des signes) |
1 - 2x < 5 +
x 1 - 5 < x + 2x - 4 < 3x 3x > - 4 x > -4/3 |
3 - 7x
< 5 - x - 7x + x < 5 - 3 - 6x < 2 6x > - 2 (règle des opposés) x > - 2/6 x > - 1/3 |
∗∗∗ Exercices (programmation linéaire) : Fabrication d'un produit , Transporteurs (2nde/1ère)