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Notion d'inéquation, résolution de l'inéquation du 1er degré
     
  Exemples & problèmes        Inéquation du second degré | Équations

Une lecture efficace de cette page nécessite la bonne connaissance de la résolution de l'équation du 1er degré.

Comme son nom l'indique, une inéquation (mot à mot une non égalité) d'inconnue est une expression algébrique E() pouvant se ramener à la forme E(x) < 0 ou E(x) 0. Un exemple pourrait être : N , 2x - 7 < 0 dont les solutions sont 0, 1, 2 et 3 : comme pour les équations, il est tout à fait indispensable de savoir dans quel ensemble on recherche des solutions. Écrire 2 - 7 < 0 n'a que peu de sens !

Une inéquation de la forme E() > 0 ou E() 0 peut toujours se ramener, on va le voir ci-après à la forme E() < 0 ou E() 0.

Règles pratiques :

Quel que soit A, quel que soit B :

Cette règle est fondamentale : si l'on change le signe des deux membres d'une inégalité, le signe d'inégalité doit être inversé. Cela revient à multiplier par - 1.

Par suite, face à une inéquation du type E() 0, on pourra, si l'on préfère, l'écrire - E() 0.

Plus généralement :

Règles algébriques de transposition : 

A, B et u désignant des nombres quelconques :

Présence de valeurs absolues :                     notion de valeur absolue

D'une façon générale, on se débarrassera des valeurs absolues présentes dans une équation par étude des différents cas amenant à les supprimer. On trouvera des cas d'usage élémentaires se ramenant au 1er degré sur la page traitant la notion de valeur absolue à cet endroit. Voir aussi la page équation.

  niveau seconde
Résoudre dans R les inéquations :  a)  | 2x + 3 | > 5            b)  | x + 3 |   | 2x - 3 |  

   niveau 1ère
a)
Résoudre dans R, l'inéquation 2x/|x + 1| < x - 1  

   niveau Terminale
b) Résoudre dans R, l'équation(e) :  ln |x2 - 2| = 1    

Résolution de l'inéquation ax + b < 0 (niveau collège) :

L'étude qui suit reste bien sûr valable si l'on remplace les signes d'infériorité par les signes de supériorité > ou . Bien remarquer que dire a > b revient à dire b < a. Voir aussi la règle des opposés ci-dessus.

Une inéquation est dite du 1er degré si elle peut se ramener par des transformations régulières (c'est à dire conduisant à une inéquation équivalente) à la forme a + b < 0 où a et b sont des nombres réels (ou complexes) donnés, a étant non nul. Le membre de gauche est un polynôme du 1er degré : c'est un binôme (deux termes) du premier degré.

A l'exception de cette règle, la résolution d'une inéquation se conduit comme une équation !

Exemples de résolution :

 
  2 - 3 < 0
  2 < 3
  < 3/2
   -3 + 4 < 0
   -3 < - 4
   3 > 4 
   (règle des opposés)
   > 4/3
 6 + 3 < 10 -
  6 + x < 10 - 3
  7 < 7
  < 7/7
  < 1
     
  3( - 2) < 3( - 2)
  6 - 6 < 3 - 6
  6 - 3 < - 6 + 6
  3 < 0
  < 0  
car 3 >0
 
 (règle des signes)
  1 - 2 < 5 +
  1 - 5 < + 2
  - 4 < 3
  3 > - 4

  > -4/3
  3 - 7 < 5 -
  - 7
+ < 5 - 3
  - 6
< 2
  6
> - 2   (règle des opposés)
  > - 2/6
 
> - 1/3
 

   Exercices (programmation linéaire) : Fabrication d'un produit  ,  Transporteurs  (2nde/1ère)


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