ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 KRAMP Christian,
français, 1760-1826» Factorielle n et analyse combinatoire |
Astronome, professeur de physique et de mathématiques
à Cologne (cette ville d'Allemagne, Köln en allemand, fut
française de 1794 à 1815), Kramp fut également doyen de la faculté
des sciences de Strasbourg. Travaux en
analyse (équations différentielles et solutions approchées) arithmétique et statistique (phénomènes
liés à la loi
normale).
On lui doit la notation
n!
(Éléments d'arithmétique universelle,
1808) pour la factorielle d'un entier
n, produit des n
premiers entiers naturels non nuls :
n! = 1 x 2 x 3 x … x n et on pose, par la convention : 0! = 1! = 1.
En fait, le concept plus général de factorielle fut "inventé" à la même époque par son compatriote Arbogast. On trouvera dans son mémoire de 1812 : Analyse transcendante. Mémoire sur les facultés numériques (extrait ci-dessous), une allusion à sa notation n! cas particulier de l'écriture notée am|r :
a(a + r)(a + 2r)...[a+(m-1)r]
Le commentaire ci-dessous signé J. D. G. est celui du rédacteur fondateur des Annales de mathématiques pures et appliquées, Joseph Diez Gergonne :
Stirling et le calcul approché de n! pour n grand : » Calcul multiprécision de n! :»
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Factorielle n et analyse combinatoire : |
En analyse combinatoire, n! est le nombre de façons de classer n objets distincts : on parle de permutations. Considérons, par exemple, 4 objets :
L'arbre des classements possibles commençant par le 1er objet montre 6 cas : il y a donc 24 cas en rajoutant ceux commençant par le 2ème, 3ème ou 4ème objet.
Si on note permut(n) le nombre de permutations de n objets, cet arbre permet de comprendre que :
permut(n) = n × permut(n-1)
Cette égalité récursive fournit alors la formule :
permut(n) = n! = n x (n - 1) x (n - 2) x … x 2 x 1
∗∗∗
Calcul récursif de n! en JavaScript (exercice avec solution) : » Calcul de n! sur tableur : »
➔ Pour en savoir plus :
Nombreux mémoires de Kramp sur le site Numdam : http://www.numdam.org/search/Kramp-q
Budan
de Boislaurent