ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BROUWER Luitzen Egbertus Jan, hollandais, 1881-1966

Brouwer étudia et fut professeur à l'université d'Amsterdam. Mathématicien et philosophe, il fut un des maîtres, avec Poincaré, du mouvement intuitionniste (ou constructiviste).

Cette nouvelle école vise à reconstruire toutes les mathématiques en refusant une axiomatique basée sur le principe du tiers exclu (initié par Aristote) susceptible de s'appliquer à des domaines infinis (Founding Set Theory Independently of the Principle of the Excluded Middle, 1918).

Peu soutenu, à l'exception de Weyl en Allemagne et Kleene aux États-Unis qui prolongea ses travaux, il s'oppose ainsi aux deux autres courants de mathématiciens influents de son temps :

Les trois grands courants de la pensée mathématique : »

Outre l'expression de sa pensée sur la logique, on doit à Brouwer, avec Hausdorff et Poincaré, des travaux en géométrie différentielle et les premiers développements de la topologie (le terme est de Listing) incluant ceux de la topologie combinatoire, plutôt dénommée algébrique de nos jours, de par ses prolongements en théorie des groupes.

Notion de topologie : »

Quand Brouwer entre dans le monde de la recherche mathématique, on est en pleine bataille sur les fondements des mathématiques. L'introduction des ensembles a très vite montré des défaillances logiques comme celle de « l'ensemble de tous les ensembles est-il un ensemble », question à laquelle on ne peut répondre oui ou non sans engendrer une contradiction.

Dans la continuation des idées de Kronecker, la remise en cause du principe du tiers exclu relève tant de la mathématique que de la philosophie et il ne s'agira donc pas ici de polémiquer sur ce principe sujet à discussions et interprétations sans fin.

D'ailleurs refuser le principe du tiers exclu revient en quelque sorte à l'appliquer : ou bien le principe est, ou bien il n'est pas... Dans le cas géométrique, on aboutirait, sans ce principe, au fait qu'une construction pourrait être possible et impossible, ce qui contredirait le principe de non contradiction accepté par les intuitionnistes. On est dans le « il est interdit d'interdire... »...

Le qualificatif intuitionniste est né du principe que si la mathématique échappe au fini, elle doit procéder de la notion intuitive du temps, sans doute le seul continuum acceptable, la nature continue de la droite issue de la géométrie axiomatique étant contestable. Dans la ligne de pensée de Kronecker, seuls sont acceptables des ensembles finis ou au plus équipotents à (en correspondance bijective avec) l'ensemble des entiers naturels, et cet ensemble N est un infini potentiel, non en acte : on ne peut pas le considérer dans sa globalité comme l'artiste peintre nous parlerait du point à l'infini de sa perspective.

Selon le principe intuitionniste, la proposition « il existe un entier naturel n vérifiant la propriété n » n'a pas de sens si le mathématicien n'est pas à même de définir l'algorithme permettant d'expliciter n en un nombre fini d'étapes : c'est le constructivisme.

Pour Brouwer, la logique classique appliquée aux ensembles infinis est une généralisation d'une logique crée à partir de domaines finis sur lesquels s'exerce notre pensée. Or la complexité des ensembles infinis, exceptée celle des entiers naturels, ne nous autorise nullement à cette généralisation.

»  Cantor

Le raisonnement par récurrence est accepté. Mais, le raisonnement par l'absurde, trop souvent utilisé dans le domaine infini de l'analyse et de l'irrationnel, fait appel au tiers exclu : ce principe est donc inacceptable. Le principe de non contradiction est accepté car une proposition ne peut à la fois être acceptée et invalidée quel que soit le système logique dans lequel on s'est placé.

Par exemple :  Dans l'ensemble accepté N, la définition d'un nombre premier est valide car on saura ou bout d'un nombre fini d'essais si le nombre est premier ou non. La preuve de l'infinitude des nombres premiers, pourtant très belle, donnée par Euclide, reposant sur un raisonnement par réduction à l'absurde, est rejetée par Brouwer !

Il s'agit aussi pour les intuitionnistes de rejeter le formalisme hilbertien où le mathématicien n'est qu'un robot assujetti à ses axiomes et dont la rigidité sera brisée par les théorème d'incomplétude de Gödel.

Avec son élève A. Heyting, Brouwer fonde la logique intuitionniste (Intuitionism, 1930) en définissant, en sus du VRAI et du FAUX : l'indémontrable, également qualifié de non décidable : c'est une logique trivalente. Une proposition possède ainsi trois valeurs de vérité  :

• assurément vraie (+P);

• démontrable (P);
• assurément fausse ou absurde :  (¬ P); aujourd'jui cette notation signifie simplement non P : P "est fausse"

  Lois de la logique propositionnelle de (de) Morgan : »

Afin de justifier les insuffisances de la logique bivalente du tiers exclu, Brouwer donna plaisamment l'exemple du voyageur qui se retrouve prisonnier chez des cannibales d'un un pays éloigné : ses tortionnaires lui proposent de réfléchir à son dernier vœu. Cela devra être une phrase sensée et vérifiable par le chef de la tribu : si c'est un mensonge, il sera bouilli, si c'est une vérité, il sera rôti. Après réflexion, notre voyageur sauva sa peau et le chef fut banni car il prit sa place... Pourquoi ? Réponse : cliquez-moi.

On voit par cet exemple "brouwérien" que le tiers exclu est mis à mal même dans le cas fini... Dans la logique intuitionniste P ⇒ ¬ ¬ P est assurée mais pas la réciproque : la négation de la négation de P n'est pas équivalente à P. En d'autres termes « l'absurdité de l'absurdité de P n'implique pas P » : on nie donc le principe du tiers exclu nécessaire pour valider P ⇔ ¬ ¬ P, ce qui faisait dire à Brouwer :

« L'absurdité de l'absurdité du tiers exclu est absurde »

La logique de Brouwer ne fut pas la dernière tentative de rénovation mais après plus de 60 ans d'errements, les doutes et l'inquiétude sur les fondements de la démonstration s'estomperont en 1963 grâce aux travaux de Gödel et Cohen avec la découverte, quel que soit le système d'axiomes d'une théorie, de propositions indécidables.

Rⁿ est homéomorphe à R^m si et seulement si m = n

D'apparence évidente, ce résultat est très important. Il permet d'établir une théorie cohérente de la dimension des espaces topologiques qui apparaît alors comme un invariant topologique. Deux espaces topologiques homéomorphes ont la même dimension et si F est un sous-espace topologique de E, alors dim F ≤ dim E.

• Un intervalle de R muni de la topologie induite est de dimension 1 : c'est évident s'il est ouvert car il est homéomorphe à R (on construira facilement un tel homéomorphisme). S'il est fermé, sa dimension ne peut excéder 1, puisque inclus dans R. Si sa dimension est 0, c'est ennuyeux car alors l'ouvert serait nécessairement de dimension 0, ce qui n'est pas le cas. Sa dimension est donc 1.

• En tant qu'espace topologique, tout ensemble fini ou dénombrable (muni de la topologie discrète) est de dimension 0 car si elle valait 1, alors R serait en bijection avec un ensemble fini ou dénombrable, ce qui n'est pas le cas !

Topologie algébrique, homéomorphisme : »           Notion de dimension : »

Un point fixe d'une application f : E → E est un élément x de E tel que f(x) = x. Le théorème de Brouwer (1910) énonce :

Si U désigne la boule unité (fermée) de Rⁿ, toute application continue f : U →U admet (au moins) un point fixe

»  La boule unité fermée (resp. ouverte) de Rⁿ est l'ensemble des points X(x₁,x₂, ..., x_n) tels que x₁² ₊ x₂² ₊ ... ₊ x_n² ≤ 1 (resp. < 1). Dans le cas fermé (partie compacte), si n = 1 c'est l'intervalle [-1,1], si n = 2, c'est le disque de centre O(0,0) de rayon 1, si n = 3, on retrouve la boule au sens usuel !

Plus généralement, on peut établir le théorème suivant :               » notion de convexité

Si K est une partie compacte et convexe d'un espace topologique localement convexe,
alors toute application continue de K dans lui-même admet (au moins) un point fixe.

Ce théorème est évident dans le cas de R (n = 1) : graphiquement, il exprime que la courbe, sous les conditions indiquées, coupe la bissectrice du repère d'équation y = x.

Plus généralement, considérer une fonction f continue de K = [a,b] dans lui-même et poser g(x) = f(x) - x pour tout x de K. La fonction g est continue sur K. Or f(a) ≥ a  et  f(b) ≤ b; g(a) et g(b) sont donc de signes contraires et le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que g s'annule en (au moins) un point c de [a,b].

 ➔  La fonction x → x + sin(x) représentée ci-dessous, retreinte à [0,10] applique cet intervalle dans lui-même. On constate la présence de 4 points fixes.

Sous certaines conditions, on peut se passer de la continuité. Le théorème 1 ci-dessous, n'exigeant que la croissance, est tout particulièrement remarquable :

1  Toute fonction numérique croissante d'un intervalle [a,b] dans lui-même admet au moins un point fixe.

Preuve : si fa) = a, le résultat est démontré... Sinon, f étant croissante, on a f(a) > a. Notons E l'ensemble des x de [a,b] tels que f(x) > x. L'ensemble E est borné et non vide, il admet donc une borne supérieure m. Montrer maintenant que f(m) = m.  Indication : supposer f(m) > m  puis f(m) < m. ☼

2a  Soit J un intervalle fermé de R (non nécessairement borné) et f une fonction numérique k-contractante de J dans lui-même. Alors f admet un point fixe α unique dans J. De plus, si (u_n) est la suite définie par la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n), alors la suite converge vers α quel que soit u_o choisi dans J.

Fonctions lipschitziennes et fonctions contractantes : »

On a de plus un contrôle de convergence en tant que cas particulier du théorème du point fixe de Banach. :

2b  Lorsque f est "seulement" lipschitzienne (k = 1) : | f(x) - f(y) | ≤ | x - y |, f admettra un point fixe (unique) α sous la condition complémentaire que J est borné (intervalle fermé borné [a,b]). La suite (u_n) définie par u_n+1 = f(u_n), converge vers α quel que soit u_o choisi dans J.

2c  Si (x_n) est une suite récurrente de la forme x_n = h(x_n-1) où h est une fonction dérivable, de fonction dérivée h' continue sur un voisinage V d'un point fixe α de h et vérifiant :

alors la suite (x_n) définie par (x_n) converge vers α pour tout x_o choisi dans V.

3 Dans un ensemble ordonné (E,‹) complètement réticulé (treillis complet), une application f croissante de E dans lui-même admet deux points fixes, à savoir Inf{x∈E, f(x) ‹ x} et  Sup{x∈E, x ‹ f(x)}.  » Tarsky

4 Soit K une partie non vide, compacte et convexe de R^m et f une correspondance semi-continue supérieurement de K dans lui-même. Si f(x) est convexe et non vide pour tout x de K, alors f admet un point fixe, c'est à dire un élément a de K tel que a ∈f(a).

» Kakutani

 ➔  Pour en savoir plus :

1.  Les fondements des mathématiques, De la géométrie d'Euclide à la relativité générale et à l'intuitionnisme
   par F. Gonseth, Libraire scientifique et technique A. Blanchard, Paris - 1926/1974.

2. Brouwer et Gödel : deux frères ennemis, par Mark van Atten (CNRS, philosophie des sciences), sur le site de Denise Vella Chemla :
   https://denisevellachemla.eu/transc-Brouwer-Godel.pdf
   suivi de (pages 11 sq)  L'intuitionnisme : où l'on construit une preuve par Alexandre Miquel (logicien, ENS Lyon).

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Veblen   Chazy

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