ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Relation d'équivalence      Relation d'ordre
       Ensemble quotient | Loi quotient , structure quotient | Construction de Z | Corps des fractions d'un anneau et construction de Q

Dans un ensemble E, on appelle relation d'équivalence une relation binaire, notée ici  ~ , à la fois :

Si x  ~  y, on dit que x et y sont équivalents.

  Avant Bourbaki, on parlait de relation de congruence (à la manière de Gauss) ou de relation de classification. Pour désigner la classe d'un élément x (ensemble des éléments équivalents à x), on parla de faisceau x.

Une représentation sagittale d'une relation d'équivalence entre 4 points. C'est aussi un graphe. La relation pourrait être, u désignant un vecteur non nul du plan :   A ~ B  ssi  AB colinéaire à u.

Diagramme sagittal :                   Théorie des graphes :

Classes d'équivalence, ensemble quotient, application canonique :

L'ensemble Cx des éléments équivalents à un élément x de E est non vide (il contient au moins x lui-même) et est appelé classe d'équivalence de x.

L'application φ : E E/~, qui à tout élément x de E associe sa classe s'équivalence Cx est une surjection dite canonique (au sens latin du terme canonicus = conforme aux règles) prenant ici le sens de naturelle ou la plus simple qui soit.

Un exemple fondamental en géométrie :       

On considère, dans un plan la relation, notée  ~  définie, par :

(A,B) ~ (C,D) si et seulement si ABDC (dans cet ordre) est un parallélogramme.

Cette relation, dite d'équipollence, est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence d'un couple (A,B) est le vecteur et l'ensemble quotient est le plan vectoriel.

Stevin et la notion de vecteur  :                  Vecteurs du plan, exposé élémentaire  :

 
Montrer que la relation binaire définie par  x  ~  y si et seulement si (2a + b)/3 N est une relation
d'équivalence et que ses classes sont au nombre de 3.

Relation d'équivalence associée à une application, bijection canonique associée, décomposition canonique

E et F désignant deux ensembles non vides, soit f une application de E vers F. En posant x ~ y si et seulement si f(x) = f(y), on définit une relation d'équivalence dans E dite relation d'équivalence associée à f.

Considérons la relation φ qui à toute classe d'équivalence c associe f(x), xc. On définit ainsi une application de E/~ dans l'image f(E) de E par f car si y est un autre représentant de la classe c, on a x ~ y, donc f(y) = f(x) : l'image choisie ne dépend pas du représentant x choisi pour représenter la classe c. On peut donc écrire φ(c) = f(x) pour tout x de c et cette application apparaît clairement bijective. On l'appelle bijection canonique associée  à f.

Théorème :    

Toute application f : E F se décompose sous la forme i o φ o ss désigne la surjection canonique de E dans E/~, φ la bijection canonique associée à f et i l'injection canonique de f(E) dans F :

Preuve : si c est la classe d'équivalence de xE pour la relation d'équivalence associée à f, on peut en effet écrire pour tout x de E :
              (i o φ o s)(x) = (i o φ)(c) = i(f(x)) = f(x).

Relation d'équivalence compatible avec une structure algébrique, loi quotient, structure quotient :

La notion d'équivalence est fondamentale, elle permet la construction de nouveaux objets mathématiques à partir de notions premières (points, entiers naturels, ...) :

On dit qu'une relation d'équivalence, notée  ~ , définie dans une structure algébrique S, est compatible avec les lois de S (groupe, anneau, corps, module, espace vectoriel,...) pour exprimer que les résultats des opérations effectuées sur des éléments équivalents demeurent équivalents, c'est à dire appartiennent à la même classe.

Plus précisément :

Relation binaire (quelconque) compatible avec une loi :

 Lois quotients :    

Une telle compatibilité permet de munir l'ensemble quotient S/~ (ensemble des classes d'équivalence) de lois internes induites par celles de S : on parle de lois quotients.

Soit (E,*) un magma (ensemble muni d'une loi de composition interne *) et notons x la classe de x et T la loi quotient. Dans la pratique, pour simplifier, on note souvent de la même façon la loi * et la loi T. On a par définition d'une telle loi :

x T y  =  x*y

Ceci n'aurait pas de sens si x T y dépendait des représentants x et y choisis pour désigner les classes. Mais, comme vu ci-dessus, si x ~ x' et  y ~ y', on aura x*y ~ x'*y', donc x'*y' = x'*y', c'est à dire x' T y' = x T y.

Les lois quotients permettent de conférer à l'ensemble quotient S/~ la même structure que S : on parle de lois quotients induites par S.

 Groupe quotient d'un groupe par un sous-groupe; anneau quotient, sous-espace vectoriel quotient :     

On vérifie facilement que si la loi * est commutative et/ou associative, il en est de même de la loi quotient T. De plus, si e est neutre dans (E,*), la relation x*e = e*x = x  pour tout x de E, se traduit par x T e  = e T x = x  : e  est neutre dans E/~.

Soit G un groupe commutatif d'élément neutre noté e, et H un sous-groupe de G.

Théorème :   

La relation définie dans G par : x ~ y x*y-1H est une relation d'équivalence compatible avec la structure de G.
 

Dans les cas additif et multiplicatif, x*y-1 s'écrirait respectivement x - yH et x/yH

Muni de la loi quotient, encore notée *, l'ensemble quotient de G par la relation ~, ensemble des classes d'équivalence, est un groupe noté G/H d'élément neutre e.       preuve

Et si G n'est pas commutatif ?    

Considérons deux éléments de G de la forme a*x et a*y. On a (a*x)*(a*y)-1 = (a*x)*y-1*a-1 = a*(x*y-1)*a-1. C'est dire que dans un groupe non commutatif, on est assuré que la relation d'équivalence ~ sera compatible avec la loi de G lorsque H est un sous-groupe distingué de G.

 Anneau quotient :   

On définirait de façon semblable un anneau quotient d'un anneau (A,+,) lorsque la relation d'équivalence est compatible tant avec l'addition qu'avec la multiplication de l'anneau A.

 Espace vectoriel quotient :   

Soit (E,+, .)  un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Il est facile de vérifier que la relation 

x ~ y x - yF

est une relation d'équivalence compatible avec la structure de E. L'ensemble quotient est un espace vectoriel noté E/F. Un exemple important est celui de la construction des espaces de fonctions de puissance p-ème intégrable au sens de Lebesgue :

Espaces p et espaces Lp (de Lebesgue) :                 Loi quotient et homomorphisme de structures :

Un premier usage constructif, le groupe Z des entiers relatifs :

L'ensemble N muni de l'addition est un semi-groupe. On peut construire un groupe contenant N par symétrisation. Dans N N, posons :

(a,b) ~ (c,d) si et seulement si a + d = b + c

La relation  ~ ainsi définie est une relation d'équivalence dans N N. Nous dirons alors que les couples (a,b) et (c,d) sont équivalents. Pour chaque couple (a,b), notons C(a,b) l'ensemble des couples de N N équivalents à (a,b). C(a,b) est non vide. Il contient au moins :

  (a,b) lui même            (a - b, 0) si a b           (0, b - a) si b a

Par exemple : 

C(2,3) = C(0,1) = {(0,1) , (1;2) , (2,3) , (3,4) , (4,5) , ...}C(3,2) = C(1,0) = {(1,0) , (2,1) , (3,2) , (4,3) , (5,4) , ...}

Une classe d'équivalence pour la relation  ~ est appelé entier relatif et l'ensemble quotient N/~  est noté Z. (de l'allemand Zahl = nombre).

Addition des classes :     

En posant C(a,b) + C(c,d) = C(a + c,b + d), on définit une loi de composition interne dans N/~ = Z car le résultat de cette opération ne dépend manifestement pas des couples choisis pour représenter une classe : la relation  ~ est compatible avec l'addition des couples d'entiers. Nous l'appelons addition et cette loi confère à Z la structure de groupe commutatif. En effet :

{(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , ...}

Où l'on revient à la notation bien connue :     

On remarque que C(a,b) = C(a,0) + C(0,b). On identifie  C(a,0) à l'entier naturel a et on pose C(0,a) = -a. Dans ces conditions :

C(a,b) = C(a,0) + C(0,b) s'écrit C(a,b) = a + (-b)

Construction d'un corps de fractions (et cas de Q) : 

 Pour en savoir plus :

  1. Éléments de mathématique, Livre II, Ch. 1 & 2, Structures algébriques - N. Bourbaki, Éd. Hermann, Paris, 1964.
  2. Cours de mathématiques - Classes préparatoires - tome 1 - Algèbre par J.M. Arnaudiès, H. Fraysse, Dunod Université, Paris, 1989.
  3. Leçons d'algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin, Éd. Dunod, Paris -1961.
     


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