ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LITTLEWOOD John Edensor, anglais, 1885-1977

Né à Rochester, fils d'un professeur de mathématiques, John Littlewood vécut quelques années en Afrique du Sud où sa famille s'était expatrié. De retour en Angleterre, il étudia à Londres puis au Trinity College de Cambridge où enseignait alors Alfred N. Whitehead, philosophe et logicien, dont le jeune John suivait les cours avec passion à une époque où la crise des fondements des mathématiques, engendrée par la théorie des ensembles de Cantor, faisait rage. Dès l'obtention de sa thèse (1910) portant sur l'hypothèse de Riemann, dirigée par Ernest W. Barnes (1874-1953), diacre et mathématicien, professeur à Cambridge, Littlewood succéda à Whitehead nommé à Londres cette année là.

Professeur à l'université de Cambridge, sa préoccupation majeure fut l'analyse comme les méthodes de sommation des séries numériques (problèmes taubériens), fonctions zêta, théorie analytique des nombres. Un grand nombre de ses travaux furent en étroite collaboration avec son ami Godefroy Hardy, renforcée par l'arrivée à Cambridge de Ramanujan à l'invite de ce dernier.

La distribution des nombres premiers :   

Concernant la distribution des nombres premiers, la conjecture de Gauss selon laquelle si  π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à n on a  π(n) ∼ li(n), li désignant le logarithme intégral, est devenue théorème des nombres premiers en 1896 grâce aux travaux de Hadamard et de La Vallée-Poussin.

Eu égard aux tables de nombres premiers dépassant plusieurs millions, les mathématiciens de l'époque s'accordaient à dire que ce résultat est une approximation par excès, autrement dit π(x) < li(x) pour tout x suffisamment grand. Littlewood a montré (1914) qu'il n'en est rien en découvrant une série de nombres x vérifiant π(x) > li(x). Plus précisément (» réf.4) :

Il existe une constante k > 0 telle que pour des valeurs suffisamment grandes de x, on ait :

La conjecture de Waring :   

En théorie additive des nombres (» Goldbach), la conjecture de Waring (1770) que l'on peut ainsi énoncer :

Tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés , d'au plus neuf cubes, d'au plus dix-neuf bicarrés
et ainsi de suite sauf exception.

fut prouvée par Hilbert en 1909 sans, cependant, décrire les conditions de cette décomposition. Un nouveau problème apparaît alors :

Un entier n étant donné, peut-on calculer ou au moins majorer le plus petit nombre g(k) tel que n = n1k + n2k + ... + ng(k)k ?

Littlewood, Hardy et Vinogradov apporteront des solutions partielles à ce difficile sujet.

»  Ramanujan , Gauss , Legendre , Tchebychev , Polya , Davenport

 Nombres premiers jumeaux : »
 


    Pour en savoir plus :

  1. Preuve de la conjecture de Waring dans le cas de 4 carrés : on pourra se référer à l'ouvrage de Émile Borel :
    Les nombres premiers
    , Ch. 5, Coll. Que sais-je ? n°571, P.U.F - Paris, 1953.
  2. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Coll. Que sais-je ? n°1093, P.U.F - Paris, 1963.
  3. Les nombres premiers (dont l'hypothèse de Riemann), Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France.
  4. Distribution de nombres premiers et fonction ζ(s) par Hubert Delange (séminaire Delange-Pisot-Poitou) :
    http://www.numdam.org/article/SDPP_1959-1960__1__A1_0.pdf
  5. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie, pages 670 à 675
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, Éd. Albin Michel, Paris, 1997/98
  6. Le problème de Waring pour les bicarrés : g(4) = 19, par François Dress (univ. Bordeaux, 1985) :
    http://www.numdam.org/article/TAN_1985-1986__2__A4_0.pdf
  7. Waring's problem : a survey, par R. C. Vaughan et T. D. Wooley (Pennsylvania State Univ. :
    http://www.personal.psu.edu/rcv4/Waring.pdf


Brun  Plancherel
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