MERTENS Franz, allemand d'origine polonaise, 1840-1927 |
Né à Posen, à l'époque en Prusse de 1815 à 1848, aujourd'hui Środa en Pologne, Mertens étudia les mathématiques à Berlin où Weierstrass fut un de ses professeurs. Il obtint son doctorat en 1865 portant sur la théorie du potentiel sous la direction de Kummer et Kronecker. Il enseigna à Graz et à Vienne.
Son nom nous est particulièrement familier de par son théorème sur les séries produits complétant celui de Cauchy et des résultats concernant la distribution des nombres premiers.
Théorème de Mertens sur les séries produits (1875) : |
Lorsque les séries numériques Σun et Σvn sont convergentes, l'une au moins étant absolument convergente, alors, en notant vers u et v leurs sommes respectives, la série produit, définie ci-dessous, de terme général wn , est également convergente et sa somme est le produit uv.
wn = Σukvn-k = uovn + u1vn-1 + u2vn-2 + ... unvo
En savoir plus sur les séries et leur convergence : »
Théorèmes de Mertens relatifs à la distribution des nombres premiers (1874) : |
n désignant un entier naturel (non nul) et ln la fonction logarithme népérien :
»
notations de Landau | » réf.3Distribution des nombres premiers : » Produit eulérien : »
➔ Pour en savoir plus :
Les séries mathématiques, par Gaston Casanova, Que sais-je ? n°1567. P.U.F, Paris - 1974
L'Analyse au fil de l'histoire
par Ernst Hairer et
Gerhard Wanner - Éd. Springer, 2001
Ce livre est partiellement en ligne sur Google Livres à
cette adresse.
Les Nombres premiers, par Gérald Tenenbaum, Michel Mendès-France, Que Sais-je n°571, Ed. PUF - 1997
Sur un théorème de Mertens, par Olivier Ramaré
(CNRS) :