ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ERDÖS Pavel (Paul), hongrois, 1913-1996

Fils de professeurs de mathématiques, Paul Erdös fit ses études à Budapest. Docteur es sciences à 21 ans, il donna à 19 ans une preuve de la conjecture de Bertrand selon laquelle,

Pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n

Désirant compléter sa formation, Erdös s'installe à Manchester (Angleterre) et l'arrivée du nazisme en Allemagne lui interdit le retour en Hongrie. Il émigre aux États-Unis (Princeton, 1938) puis, accusé de sympathiser avec le marxisme à l'époque du maccarthisme, Erdös dut quitter l'Amérique. Il s'expatrie en Israël. De retour aux USA dans les années 1960, il enseignera dans diverses universités avant de revenir à Budapest. 

Les travaux de ce mathématicien portent sur le calcul des probabilités et plus spécialement sur la théorie additive des nombres, la théorie des graphes, la distribution des nombres premiers pour laquelle il donne, inspiré par les premières avancées de Selberg, une preuve relativement simple (1949) du théorème des nombres premiers, eu égard à celle de Hadamard et La Vallée-Poussin, à savoir que :

           Réf. 1 & 2

Conjectures :

Prolixe et prolifique (plus de 1500 publications, réf. 2), ce célèbre arithméticien se plut à émettre des conjectures, en les accompagnant de prix, et à formuler des théorèmes originaux. Il reçut lui-même pour ses travaux, le prix Wolf 1984.

Six conjectures d'Erdös, très difficiles à prouver mais faciles à énoncer :  

Étude de la conjecture & conjecture de Sierpinski :

Erdös (à droite) et Claude Berge (1995). Source INRIA
Paul Erdös en compagnie de Claude Berge (1995), Source INRIA

Carmichael et nombres absolument pseudo-premiers :

  Paul Turan (1910-1976), mathématicien hongrois, professeur à l'université de Budapest. Travaux en théorie des nombres en collaboration avec son ami Erdös.

Preuve de la conjecture dans le cas équilatéral :

On considère une suite (un) à valeurs dans {-1,1}. En appelant discrépance de cette suite, la borne supérieure pour n et d décrivant N de la somme |ud + u2d + u3d + ... und|, Erdös conjecture que cette borne sup est infinie :

La preuve de cette conjecture a été apportée par Terence Tao en octobre 2015 ( réf. 4 & 5 ci-dessous).

Théorèmes :
  1. Toute application non nulle multiplicative et croissante est complètement multiplicative est de la forme nnα .

  2. Théorème d'Erdös-Anning (1945, réf. 6) :

Une infinité de points du plan dont la distance entre deux points quelconques est un nombre entier sont alignés.

  Norman Herbert Anning : mathématicien américain (1883-1963) , professeur à l'université du Michigan , sise à Ann Arbor. Ses travaux portèrent principalement sur la théorie des nombres et les problèmes soulevés par la théorie des ensembles infinis.    


  Pour en savoir plus :

  1. Some unsolved problems, par Paul Erdös : http://www.renyi.hu/~p_erdos/1961-22.pdf

  2. Collected papers of Paul Erdös : http://www.renyi.hu/~p_erdos/

  3. Théorème d'Erdös-Mordell :
    a/  On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem :
    http://www.pubmedcentral.nih.gov/pagerender.fcgi?artid=1063042&pageindex=1.
    b/  Une "preuve élémentaire"  sur le site Project Euclid par le mathématicien allemand Robert Breusch (1960).

  4. Conjecture de la discrépance d'Erdös :
    http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-terence-tao-demontre-la-conjecture-de-la-discrepance-de-paul-erdos-36013.php

  5. The Erdos discrepancy problem par Terence Tao sur Cornell University Library : http://arxiv.org/abs/1509.05363.
    La preuve de Tao est ici au format pdf : http://arxiv.org/pdf/1509.05363v5.pdf

  6. Théorème d'Erdös-Anning : http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/axel/erdoes_diophantine_graphs.pdf
    Voir aussi : http://utenti.quipo.it/base5/erdos/Erdos_Anning_integral_distances.pdf . Noter que integral (en) = entier (fr).


Erdös  Guelfand (Gelfand)
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