ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ERDÖS Pavel (Paul), hongrois, 1913-1996

Fils de professeurs de mathématiques, Paul Erdös fit ses études à Budapest, sa ville natale. Docteur es sciences à 21 ans, il donna à 19 ans une preuve de la conjecture de Bertrand selon laquelle :

Pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n

Désirant compléter sa formation, Erdös s'installe à Manchester (Angleterre). De conferssion juive,  l'arrivée du nazisme en Allemagne lui interdit le retour en Hongrie. Il émigre aux États-Unis (1938) bénéficiant d'une bourse à l'université de Princeton.  Dix années plus tard, après divers postes sans chaire et accusé de sympathiser avec le marxisme à l'époque du maccarthisme, Erdös dut quitter l'Amérique. Il s'expatrie en Israël. De retour aux USA dans les années 1960, il enseignera dans diverses universités avant de revenir à Budapest. 

Les travaux de ce mathématicien ont porté sur le calcul des probabilités, la théorie additive des nombres, la théorie des graphes, ainsi que sur la distribution des nombres premiers pour laquelle il donne (1949), inspiré par les premières avancées de Selberg, une preuve d'une conjecture de Gauss ne faisant pas appel à l'analyse complexe, selon laquelle si π(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier naturel x et ln le logarithme népérien :

         (»  réf.4)

Selberg, avec qui il collabora sur ce difficile sujet, publia sa preuve quelques mois avant Erdös, ce qui lui valut la médaille Fields 1950 en engendrant certaines tensions entre les deux mathématiciens (»  réf.5c). Élu membre de la Royal Society (à titre étranger) en 1989, Erdös fut récipiendaire, entre autres distinctions, du prix Cole (1951) et du prix Wolf 1983.



(...)

» Hadamard , La Vallée-Poussin , Daboussi

Erdös s'est intéressé aussi aux nombres spéciaux comme les nombres abondants, surabondants (» réf.9), hautement composés, pratiques, puissants, ... en étudiant leur répartition dans l'ensemble des entiers naturels en lien avec celle des nombres premiers.

Théorèmes :
  1. Complétant une conjecture de Bertrand, Erdös prouve que :

Pour tout entier naturel n au moins égal à 6, il existe, entre n et 2n, au moins deux nombres premiers, l'un de la forme 4k + 1, l'autre de la forme 4k + 3.

•  Les restes de la division par 4 étant 0, 1, 2 ou 3; en tant que nombre impair, puisque n > 6, tout nombre premier de l'intervalle ]n,2n[ est de la forme 4k + 1 ou 4k + 3. L'intérêt du résultat réside dans l'existence de deux nombres premiers de types distincts dans cet intervalle.

»  Bertrand , Tchébychev , Ramanujan

    π(n) désignant le nombre de nombres premiers inférieurs à n, Tchébychev avait prouvé en 1850 l'inégalité π(2n) > π(n), assurant ainsi l'existence d'un nombre premier entre n et 2n.

La distribution des nombres premiers : »

  1. Toute application non nulle multiplicative et croissante est complètement multiplicative et de la forme n → nα  (» réf.3)

  2. Théorème d'Erdös-Anning (1945, » réf.7) :

Une infinité de points du plan dont la distance entre deux points quelconques est un nombre entier sont alignés.

 i  Norman Herbert Anning : mathématicien américain (1883-1963), professeur à l'université du Michigan, sise à Ann Arbor. Ses travaux portèrent principalement sur la théorie des nombres et les problèmes soulevés par la théorie des ensembles infinis.

Conjectures :

Prolixe et prolifique (plus de 1500 publications, » réf.2), ce célèbre arithméticien se plut à émettre des conjectures, en les accompagnant de prix, et à formuler des théorèmes originaux. Il reçut lui-même pour ses travaux, le prix Wolf 1984.

Sept conjectures d'Erdös, difficiles à prouver mais faciles à énoncer :   

Étude de la conjecture & conjecture de Sierpinski : »

  la somme des inverses des nombres premiers 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + ... + 1/n + ... étant divergente (» Euler), ce résultat montre en particulier l'existence de nombres premiers en progression arithmétique.

Nombres premiers jumeaux : »        Nombres premiers en progression arithmétique : »

Erdös (à droite) et Claude Berge (1995). Source INRIA
Paul Erdös en compagnie de Claude Berge (1995), Source INRIA

Carmichael et nombres absolument pseudo-premiers : »

 i   Paul Turan (1910-1976), mathématicien hongrois, professeur à l'université de Budapest. Travaux en théorie des nombres en collaboration avec son ami Erdös.

Preuve de la conjecture dans le cas équilatéral : »            » voir aussi réf.8

On considère une suite (un) à valeurs dans {-1,1}. En appelant discrépance de cette suite, la borne supérieure pour n et d décrivant N de la somme |ud + u2d + u3d + ... und|, Erdös conjecture que cette borne sup est infinie :

La preuve de cette conjecture a été apportée par Terence Tao en octobre 2015 (» réf.5&6).

Étude des nombres puissants : » 


    Pour en savoir plus :

  1. Some unsolved problems, par Paul Erdös : http://www.renyi.hu/~p_erdos/1961-22.pdf
  2. Collected papers of Paul Erdös (cliquer dans le HTML index)  : https://users.renyi.hu/~p_erdos/
  3. Preuve du théorème d'Erdös sur les fonctions multiplicatives, par Gery Huvent, professeur PCSI, lycée Faidherbe, Lille :
    http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/articlespdf/Erdos.pdf
  4. Théorème des nombres premiers :
    a/  On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem :
    https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063042/pdf/pnas01544-0034.pdf
    b/ Les Nombres premiers, par Gérald Tenenbaum, Michel Mendès-France, Que Sais-je n°571, Ed. PUF, 1997.
    Le chapitre 4 évoque à la preuve de Selberg-Erdös
    en se consacrant tout particulièrement à celle de H. Daboussi.
    c) An elementary proof of the prime number par le mathématicien allemand Robert Breusch (1960) :
    https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1103038404
    d) Preuve "élémentaire" du théorème des nombres premiers et le différend Erdös/Selberg :
    http://www.math.ohio-state.edu/~nevai/ERDOS/ErdosSelbergDispute.pdf
  5. a) Terence Tao démontre la conjecture de la discrépance d'Erdös, par Sean Bailly :
    http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-terence-tao-demontre-la-conjecture-...php
    b) En souvenir de la conjecture de la discrépance, par Jacques Bair : https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/205591/1/L32_Discrepance.pdf
  6. The Erdos discrepancy problem par Terence Tao sur Cornell University Library : http://arxiv.org/abs/1509.05363.
    La preuve de Tao est ici au format pdf : http://arxiv.org/pdf/1509.05363v5.pdf
  7. Théorème d'Erdös-Anning : http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/axel/erdoes_diophantine_graphs.pdf
    Voir aussi : http://utenti.quipo.it/base5/erdos/Erdos_Anning_integral_distances.pdf . Noter que integral (en) = entier (fr).
  8. Étude de la conjecture d'Erdös-Mordell par Patrick Fuhr (Irem Strabourg) :
    Partie 1 : https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/L_Ouvert/n063/o_63_26-32.pdf
    Partie 2 : https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/L_Ouvert/n064/o_64_17-25.pdf
  9. Infinité des nombres puissants consécutifs (bac S juin 2018, ex. 4) :
    a) Le sujet sur le site de l'APMEP : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Metropole_LA_Reunion_22_juin_2018_DV.pdf
    b) Le corrigé : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige_S_Metropole_juin_2018_FP.pdf
    c) Voir aussi l'analyse de Jérôme Germoni (univ. Lyon 1) sur Imges des mathématiques : http://images.math.cnrs.fr/Nombres-puissants-au-bac-S.html
    d) Dans l'article ci-dessus, l'auteur fait allusion à celui de Paul Erdös, Some personal and mathematical reminiscences of Kurt Mahler :
    https://users.renyi.hu/~p_erdos/1989-34.pdf
  10. Répartition des nombres superabondants (étudiés par Paul Erdös et J.-L.Nicolas) :
    http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/erdosSA.pdf


Erdös  Guelfand (Gelfand)
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