ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Modèles plans de la géométrie de Lobatchevski
 
disque de Poincaré , métrique de Cayley

  Le disque de Beltrami :                       

L'objectif de Beltrami fut de donner (1868) une représentation plane de la géométrie de Lobatchevski (ou de Bolyai-Lobatchevski). Ce modèle repris par Klein en 1871 connaîtra une nouvelle approche avec Poincaré en 1882 :

 Ci-après les parenthèses "ouvertes", comme dans )AB(, signifient des "droites" privées des points extèmes.

Notre espace plan est le disque ouvert jaune (le bord n'est pas compris). Les "points" de cet espace sont les point intérieurs au disque. Une "droite" est une corde comme (d) = )AB(.

Métrique de Cayley :            

Dans ce contexte projectif, on peut définir également une métrique cohérente dans cet espace, introduite par Cayley et reprise par Klein  : Si r désigne le rapport anharmonique (birapport) des points [M,N,U,V], la distance non euclidienne, notée ici dk, de deux points M et N situés sur une "droite" )UV( est :

 

  Le disque de Poincaré :             

C'est au cours de ses recherches sur les fonctions automorphes que Poincaré exhiba plusieurs modèles, dans le plan et dans l'espace, susceptibles de décrire la géométrie hyperbolique. Le disque de Poincaré (1882) en est une représentation plane où le plan est encore réduit à un disque de bord (c) :

Rappelons ici que deux cercles (c1) et (c2) de centres O et O', de rayons r et r', sont dits orthogonaux si leurs tangentes aux points d'intersection sont perpendiculaires :

C'est dire que :

OO'2 OA2 + OA'2 = r2 + r'2

Cercles orthogonaux et pseudo-orthogonaux :

Pour un point M situé hors de la droite (Δ), on peut mener deux parallèles à (Δ) : (d') et (d"). La distance entre deux points E et F est comme précédemment calculée au moyen du rapport anharmonique [E,F,K,H]

Pour en savoir plus :


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