ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Modèles plans de la géométrie de Lobatchevski   (plans hyperboliques)   » disque de Poincaré , métrique de Cayley

♦ Le disque de Beltrami :      

L'objectif de Beltrami fut de donner (1868) une représentation plane de la géométrie de Lobatchevski (ou de Bolyai-Lobatchevski). Ce modèle repris par Klein en 1871 connaîtra une nouvelle approche avec Poincaré en 1882 :

»  Ci-après les parenthèses "ouvertes", comme dans )AB(, signifient des "droites" privées des points extrêmes.

Notre espace plan est le disque ouvert jaune (le bord n'est pas compris). Les "points" de cet espace sont les point intérieurs au disque. Une "droite" est une corde comme (d) = )AB(.

• Dans cet espace, on peut mener au moins deux parallèles à une droite donnée (négation du 5è postulat d'Euclide). En fait, on peut en mener une infinité comme on peut le voir pour le point M et la droite (d). La droite (MA( est aussi une parallèle à (d) puisque A n'est pas un point de notre espace.
  

• La perpendicularité est ainsi définie : soit à mener la perpendiculaire à (d) = )AB( passant par M. Menons les tangentes au bord en A et B; elles se coupent en S dans le plan euclidien. Traçons la droite euclidienne (MS); elle détermine la droite )CD( de notre espace et coupe (d) en T : )CD( est la perpendiculaire en T à )AB(.
  
  On remarquera que (d) n'est autre que la polaire du point S. Lorsque T décrit (d), la division (S,T,D,C) reste harmonique.

On peut définir une métrique cohérente dans cet espace mais Beltrami n'exhiba pas une distance entre deux points de son modèle. Ce sera le fait de Cayley (repris par Klein dans son Programme d'Erlangen) : dans ce contexte projectif, si r désigne le rapport anharmonique (birapport) des points [M,N,U,V], la distance non euclidienne, notée ici d_k, de deux points M et N situés sur une "droite" )UV( est définie par :

 

♦  Le disque de Poincaré :     

C'est au cours de ses recherches sur les fonctions automorphes que Poincaré exhiba plusieurs modèles, dans le plan et dans l'espace, susceptibles de décrire la géométrie hyperbolique.

Le disque de Poincaré (1882) en est une représentation plane où le plan est encore réduit à un disque de bord (c) :

• Par définition, les droites sont des arcs de cercles orthogonaux à (c).

• Deux droites seront dites parallèles si les arcs de cercles qui les définissent sont tangents en un point de (c).

 ➔  Deux cercles (c1) et (c2) de centres O et O', de rayons r et r', sont dits orthogonaux si leurs tangentes aux points d'intersection sont perpendiculaires :

C'est dire que :

OO'² OA² + OA'² = r² + r'²

Cercles orthogonaux et pseudo-orthogonaux :  »

Pour un point M situé hors de la droite (Δ), on peut mener deux parallèles à (Δ) : (d') et (d"). La distance entre deux points E et F est comme précédemment calculée au moyen du rapport anharmonique [E,F,K,H]

• Essai d'une interprétation de la géométrie non euclidienne :
  http://archive.numdam.org/article/ASENS_1869_1_6__251_0.pdf
• Géométrie hyperbolique (niveau DEA), cours de Jean-Marc Schlenker, université P. Sabatier de Toulouse :
  http://picard.ups-tlse.fr/~schlenker/cours/gh-c2.pdf

• Modèles pseudosphériques d'Eugène Beltrami :
  http://wwwedu.ge.ch/cptic/CLUBS/CABRI/download/lettre94/pseudosphere.pdf

• Les Géométries non euclidiennes par Jean-Luc Chabert, Univ. Picardie
  Revue REPERES (I.R.E.M.), Ed. Topiques , octobre 1990