ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La chèvre de Monsieur Poincaré     niveau Sup  ou  TD niveau TerS       Un problème difficile. Au niveau collège voyez : Brouter en escargot...

Une chèvre, à moins que ce ne soit un mouton, est scandaleusement attaché par une corde, elle même attachée à un piquet fiché sur le bord d'un massif herbeux et circulaire de rayon r.

La pauvre bête, qui a le compas dans l'œil et de l'intuition géométrique, s'est aperçue qu'elle ne pouvait brouter que la moitié de l'herbe étalée sous ses yeux (la moitié du disque).

Quel est donc, en fonction de r, la longueur L de la corde ?

Indications : On pourra utiliser les notations ci-dessous. L'aire de broutage est la mesure de la surface mixtiligne PABH. Le calcul de L passe par celui de α. On évaluera β et L en fonction de α. Par symétrie, on calculera l'aire a1 du secteur beige et l'aire a2 de la calotte verte en fonction de α. On est alors conduit à une équation d'inconnue α pouvant s'écrire :

4αsin²α + sin2α - 2α - π/2 = 0

Pour sa résolution, on pourra procéder par dichotomie. Bon courage !

L'aire où peut paître le mouton est toute la partie colorée supérieure (au-dessus de l'arc AHB). La corde est attachée en P. Il s'agit de déterminer sa longueur L = PH = PB. On travaille dans la moitié droite de l'aire étudiée.

Cette moitié mesure πr²/4 en désignant par r = OP le rayon du massif herbeux.

Notons α l'angle ^OPB. L'angle ^QOB, angle au centre mesure donc 2α et par suite β = ^POB = π - 2α.

Le triangle QPB est rectangle en B. Par conséquent PB = L = 2rcosα.

Ceci étant, mesurons l'aire a₁ du secteur HPB (en ocre) :

a₁ = πL²α/(2π) = ½L²α

Calculons maintenant l'aire a₂ de la calotte délimitée par la corde [PB] (en vert). On l'obtient par différence entre l'aire du secteur OPB et celle du triangle OBP, double de celle de OKP.

On a PK = L/2 et OK = r.sinα. Par suite :

a₂ = ½πr²β/π - ½Lr.sinα = ½(r²b - Lrsinα)

Nous devons avoir l'égalité : πr²/4 = a₁ + a₂ = ½L²α + ½(r²β - Lrsinα) et en remplaçant L et β par leurs expressions en fonction de α, on obtiendra :

» Eu égard à cos2α = 1 - 2sin²α, on a 4sin²α = 2 - 2cos2α. Ce qui conduit à résoudre (un peu) plus simplement : π/2 - sin2α + 2αcos2α = 0.

On peut alors résoudre cette équation par encadrements type dichotomie ou par la méthode de Newton) en recherchant les zéros de la fonction f :

f(x) = π/2 - sin2x + 2x - 4xsin²x ,  x∈]0,5 ; 1,5[

Courbe tracée par Graphmatica

Ce qui fournit, à 0,01 près, α ≅ 0,95 radians (la solution supérieure à 2 radians est à exclure). D'où :