ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

COTES Roger, anglais, 1682-1716

Élève de Newton, astronome, physicien et mathématicien dont la disparition précoce fut fort regrettée par la communauté scientifique de l'époque. Il enseigna l'astronomie à Cambridge. La majorité de ses travaux sera publiée après sa mort.

Reprenant des travaux de De Moivre, il apporta une importante contribution dans les calculs trigonométriques où il fait intervenir les nombres complexes (Harmonia mensurarum, publié après sa mort, 1722).

Cotes étudia en particulier les racines imaginaires (complexes) de l'unité. En notations modernes, il résolut dans C, l'équation xn = 1 au sujet de laquelle il pose l'égalité : it = ln (cos t + isin t) où i désigne le célèbre complexe tel que i2 = -1 (on écrivait à l'époque ), formule équivalente à celle d'Euler obtenue à partir de la notation exponentielle, ce qui permet de définir le logarithme d'un nombre complexe :

si z = r(cos t + i.sin t), alors ln z = ln r + it

Racines n-èmes d'un nombre complexe, racines n-èmes de l'unité : Formule de Moivre  :

Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples :

Dans le même traité posthume, Cotes étudie les fonctions trigonométriques usuelles en tant que fonctions périodiques et développe, à l'instar de Leibniz et Jean Bernoulli, la technique d'intégration des fractions rationnelles par décomposition en éléments simples : toute fraction rationnelle f(x) = p(x)/q(x) peut s'écrire :

 

où les fonctions a, ri et qi sont des polynômes, les qi étant les facteurs de la décomposition de q(x) en facteurs irréductibles, les ri étant de degré strictement inférieurs à qi. On dit que xa(x) est la partie principale de f.

Exemple : soit à chercher une primitive de la fonction numérique :

Le numérateur p est de degré 4, le dénominateur q est de degré 3. On voit que q(x) = (2x - 1)(x2 + 1). Effectuons la division euclidienne :

Selon Cotes, on doit alors pouvoir écrire f(x) sous la forme :

On procède par identification par rapport à l'écriture initiale ou en donnant des valeurs simples à x. Par exemple, si x = 0, on doit avoir -1 = -a + c; si x = 1, on doit avoir 5/2 = 1 + a + (b + c)/2; si x = -1, on doit avoir -11/6 = -1 -a/3 + (c - b)/2. Finalement, : a - c = 1, 2a + b + c = 3, 2a + 3b - 3c = 5 et on obtient a = b = 1, c = 0. Donc :

Une primitive de f est alors :

F(x) =  ½[x2 + ln|2x - 1| + ln(x2 + 1)

Autres exemples :  Développement asymptotique :  voir aussi...

Une belle formule de Cotes pour un calcul du nombre e :

On doit à Cotes un développement en fraction continue du nombre e (base des logarithmes népériens, que Euler utilisera pour montrer l'irrationalité de e. La suite des quotients de e - 2 est :

[1,2,1 , 1,4,1, 1,6,1 , ..., 1,2n,1 …] , soit :

Calcul de 300 (ou plus) décimales de e :

Méthodes de Newton-Cotes :

On nomme ainsi les méthodes de calcul approché des intégrales définies, consistant à remplacer un arc de courbe représentatif de f par une interpolation polynomiale de degré n au moyen des polynômes d'interpolation de Lagrange au moyen de points régulièrement espacés (équirépartis) :

  • Le cas n = 1 n'est autre que la méthode des trapèzes : un arc de courbe MiMi+1 est remplacé par la corde [MiMi+1].

  • Le cas n = 2 correspond à la méthode de Simpson : un arc de courbe est remplacée par des arcs de parabole.

  • Le cas n = 3 dite règle des 3/8 est également due à Simpson : interpolation de degré 3.

  • Le cas n = 4 dite méthode de Boole-Villarceau, ou de Milne (où elle est exposée) et parfois improprement de Bode : interpolation de degré 4.

  • Le cas n = 6 dite méthode de Weddle : interpolation de degré 6.

Ces méthodes ont été développées principalement dans le but de résoudre de façon approchée des équations différentielles. Par construction, les formules trouvées sont exactes pour des polynômes de degré n.

Pour n supérieur à 2, ces formules sont cependant peu performantes (en dehors des fonctions polynomiales bien sûr) car plus le degré est élevé, plus les "ondulations" d'un polynôme augmente, ce qui risque de créer des distorsions d'approximation pour une fonction dont la courbe garde une même concavité sur l'intervalle d'intégration. Une méthode remarquable est celle de Romberg qui accélère très efficacement la méthode des trapèzes.

Spirale de Cotes (lituus) :

Il s'agit de la courbe définie par l'équation polaire :

Étude de la spirale  :                         Autres "spirales" de Cotes (épispirales) :

Autres travaux :

Les travaux de Cotes portèrent également en statistique dans la branche toute neuve de la théorie des erreurs (ainsi dénommée ultérieurement par Lambert) : étude probabiliste de la validité des calculs des paramètres d'un phénomène étudié sur échantillon et dont les observations sont entachées d'erreurs.

Ces problèmes seront désormais étudiés par de nombreux mathématiciens comme Simpson, Lambert, Legendre et Gauss (à qui l'on doit la méthode des moindres carrés), Lagrange, Laplace, Steiner,...


Fagnano  Taylor
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