ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Coordonnées en dimension 3 : sphériques, paramétriques, cylindriques,
     géographiques, géocentriques (géodésiques), horizontales
(azimutales), équatoriales
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Sphère céleste | Coordonnées curvilignes | coordonnées paramétriques & polaires (cas du plan) | Cas de la fenêtre de Viviani

Tout point de l'espace 3D est déterminé sans ambiguïté dans un repère orthonormé (0,x,y,z), dit cartésien :

Dans de nombreux cas, un paramétrage trigonométrique, analogue aux coordonnées polaires (r, θ) du plan, s'avère fructueux :

On se convaincra facilement que la donnée  :

Le triplet (x,y,z) constitue les coordonnées du vecteur OM. Pour cette raison, lorsque r désigne la distance OM, donc la norme de OM, r est appelé rayon-vecteur. L'application de la trigonométrie élémentaire dans la figure ci-dessus conduit aisément, pour tout point M(x,y,z) de l'espace à :

x = r.cosφ.cosθ , y = r.cosφ.sinθ , z = r.sinφ     (cp) 

Sous la forme (cp), on parle de coordonnées paramétriques d'un point de l'espace.

Coordonnées sphériques :    

La donnée de r, θ, et φ vérifiant la relation (cp) revient à se donner le point M de la sphère de centre O de rayon r :  on vérifie aisément que x2 + y2 + z2 = r2. Le triplet (r, θ, φ) constitue les coordonnées sphériques de M. Le plan (xOy) à la cote z = 0 est son équateur.

 

   Noter que les coordonnées paramétriques (r,θ) d'un point du plan, x = r.cosθ et y = r.sinθ pourraient être dites circulaires puisque x2 + y2 = r2.

Coordonnées cylindriques :    

Le triplet (r, θ, z) où (r,θ) désigne le couple de coordonnées polaires de M dans le plan (xOy), constitue les coordonnées cylindriques de M (» justification de cette appellation).

Coordonnées géographiques :     

En géographie, un point du globe terrestre est défini par sa latitude, angle φ = ^KOM et sa longitude, l'azimut θ = ^xOK. Pour cette dernière, le méridien contenant (xOz) est le méridien origine : il s'agit du méridien passant par les pôles nord et sud et l'observatoire de Greenwich (commune de Londres située sur la Tamise, au sud de la ville), donc de longitude 0°. Le système mondial de positionnement GPS mis au point par le gouvernement des États-Unis (Global Positioning System) permet de localiser de façon précise tout lieu de la planète au moyen de 24 satellites géostationnaires. L'avènement des smartphones a permis à tout un chacun de posséder un système de navigation routière extrêmement efficace (» réf.5). Il est aussi utilisé dans les transports maritimes et aériens.

Coordonnées géocentriques ou géodésiques :      

Il s'agit d'un repère cartésien local, orthonormé direct (O,x,y,z) dont la Terre est l'origine, le méridien contenant Ox étant celui de l'observateur. Il voit son usage en cartographie.

Loxodromie et orthodromie : »           » Mercator Gerhard Kremer , Nonius , Méchain

Coordonnées horizontales (azimutales) :    

Il s'agit, en astronomie, d'un système de coordonnées locales. On considère un observateur O à la surface de la Terre.

» Phytéas de Massalia  

Sphère céleste, pôles célestes et équateur céleste  :    

En astronomie, on parle de sphère céleste pour désigner une sphère imaginaire (totalement translucide) de rayon arbitraire (indéterminé ou infini, peu importe) sur laquelle serait placées les étoiles (localement, on parle communément de voute céleste ou de voute étoilée). lus précisément, l'observateur terrestre d'un astre A voit sa projection pA sur la sphère céleste, alignée avec le centre T de la Terre.

Point vernal, précession des équinoxes :    

On sait que l'axe de rotation de la Terre est incliné par rapport à son plan de révolution autour du Soleil, l'écliptique (en jaune ci-dessous), selon un angle d'environ 23° 26'. L'équateur céleste rencontre l'écliptique selon la droite des équinoxes (γΩ) ci-dessous (Ω est souvent nommé γ'). Le point γ est appelé point vernal (issu du latin ver, veris = printemps, qui a aussi donné primavera = printemps en italien et primevère, autrement dit première fleur de printemps). Le point vernal γ n'est pas fixe, il se déplace chaque année sur l'équateur d'environ 50 secondes d'arc dans le sens rétrograde (sens "horaire") tant et si bien qu'il fait le tour de l'écliptique en 26 000 ans : on parle de précession des équinoxes (précession puisqu'elles se produisent 50" plus tôt chaque année), constatée pour la première fois par le brillant astronome grec Hipparque de Nicée vers 150 av. J.-C.

Coordonnées équatoriales d'un astre :   

En astronomie, les étoiles d'une constellation sont généralement dénommées au moyen des lettres de l'alphabet grec α, β, γ, δ, ε, ... Dans l'hémisphère nord, l'axe du monde pointe actuellement vers l'étoile α (sans rapport avec la terminologie α de l'ascension droite) de la constellation de la Petite Ourse, dite étoile polaire, de déclinaison δ = 89° 15', d'ascension droite α = 2h 31'. Compte tenu, en particulier, de la précession des équinoxes, l'axe de rotation de la Terre subit de légères variations de sa direction (» réf.2 & 3).

Carte du ciel : »


Photo (perso) du ciel prise en pose au voisinage de l'étoile polaire, coin haut droit,
étoile
α de la Petite Ourse, alias Polaris, proche du pôle nord céleste.



Recherchons, au moyen des coordonnées sphériques, l'équation de la
courbe de Viviani (en rouge ci-dessous), frontière de la fenêtre du même nom (en bleu ci-contre), intersection de la sphère de centre O, de rayon R et du cylindre d'axe vertical de rayon R/2 centré sur (Ox).


Les équations de la sphère et du cylindre peuvent s'écrire respectivement x2 + y2 + z2 = R2  et x2 + y2 - Rx = 0, z réel. Un point M(x,y,z) de la courbe qui se projette en H sur le plan horizontal (Ox,Oy) vérifie donc

OH2 = x2 + y2 = Rx

Or, x = OH × cosθ. Par suite x2 = OH2cos2θ = Rxcos2θ. Et comme x est non nul : x = Rcos2θ.

Mais on sait que x = Rcosθcosφ. Par conséquent : cosθ = cosφ, soit dans [0,π/2] : θ = φ.

Ainsi, l'équation en coordonnées sphériques de notre courbe (restreinte à x et y positifs).

r = R (constant : rayon de la sphère)
θ = φ sur l'intervalle [0,π/2]

et une équation paramétrique sera alors :

x = Rcos2θ , y = Rsinθcosθ , z = Rsinθ


 Pour en savoir plus :

  1. Repérage d'un astre sur la sphère céleste (coordonnées équatoriales, horaires, horizontales, écliptiques) et relations entre ces diverses coordonnées (trigonométrie sphérique) : https://cral-perso.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/docu_astro/reperage/reperage.pdf

  2. a) Petite Ourse et Grande Ourse, histoire, mythologie et caractéristiques (pages Wikipedia) :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Petite_Ourse  |  https://fr.wikipedia.org/wiki/Grande_Ourse
    b) Déclinaison de Polaris (étoile polaire actuelle) : https://articles.adsabs.harvard.edu/full/seri/LAstr/0076//0000122.000.html

  3. Solstices, équinoxes et précession : vidéo YouTube (chaine Bright Blue) :
    https://www.youtube.com/watch?v=yARKHaPmE0o

  4. Précession des équinoxes (univ. du Mans) :
    http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/equinoxe.html

  5. a) Global Positioning System : https://fr.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System
    b) GPS, assistant de navigation : https://fr.wikipedia.org/wiki/GPS_(assistant_de_navigation)

  6. a) La langue des mathématiques en arabe, par Mohamed Souissi (univ. Tunis), 1968.
    b) Biographie de Abu Ali al-Hasan ben Ali ben Ibrahim al-Qattan  al-Marwazi, astronome originaire de Marw (Turkménistan) :
    https://islamsci.mcgill.ca/RASI/BEA/Qattan_al-Marwazi_BEA.htm

     


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