ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Coordonnées sphériques, paramétriques, cylindriques
     
coordonnées curvilignes , coordonnées paramétriques & polaires (cas du plan)

Tout point de l'espace est déterminé sans ambiguïté dans un repère orthonormé (0,x,y,z) :

Dans de nombreux cas, un paramétrage trigonométrique -analogue aux coordonnées polaires (r, θ) du plan- s'avère fructueux :

On se convaincra facilement que la donnée  :

 (x,y,z) sont les coordonnées du vecteur OM. Pour cette raison, lorsque r désigne la distance OM, donc la norme de OM, r est appelé rayon-vecteur.

L'application de la trigonométrie élémentaire dans la figure ci-dessus conduit aisément, pour tout point M(x,y,z) de l'espace à :

x = r.cosφ.cosθ , y = r.cosφ.sinθ , z = r.sinφ     (cp) 

Sous la forme (cp) ci-dessus, on parle de coordonnées paramétriques d'un point de l'espace. On vérifie que x2 + y2 + z2 = r2 : c'est l'équation de la sphère de centre O de rayon r. Le plan (xOy) à la cote z = 0 est son équateur.

La donnée de r, θ, et φ sachant la relation (cp) revient à se donner M. Le triplet (r, θ, φ) constitue les coordonnées sphériques de M.

Le triplet (r, θ, z) où (r,θ) désigne le couple de coordonnées polaires de M dans le plan (xOy), constitue les coordonnées cylindriques de M.

En astronomie, la hauteur φ = ^KOM est la latitude, l'azimut θ = ^xOK est la longitude. Pour cette dernière, le méridien contenant (xOz) est le méridien origine : il s'agit du méridien passant par les pôles nord et sud et l'observatoire de Greenwich (proche de Londres), donc de longitude 0°.

Noter que les coordonnées paramétriques (r,θ) d'un point du plan, x = r.cosθ et y = r.sinθ peuvent être dites circulaires puisque x2 + y2 = r2.

Quelques surfaces, et leurs équations :


Rechercheos, au moyen des coordonnées sphériques, l'équation de la
courbe de Viviani (en rouge ci-dessous), frontière de la fenêtre du même nom (en bleu ci-contre), intersection de la sphère de centre O, de rayon R et du cylindre d'axe vertical de rayon R/2 centré sur (Ox).


Les équations de la sphère et du cylindre peuvent s'écrire respectivement x2 + y2 + z2 = R2  et x2 + y2 - Rx = 0, z réel. Un point M(x,y,z) de la courbe qui se projette en H sur le plan horizontal (Ox,Oy) vérifie donc

OH2 = x2 + y2 = Rx

Or, x = OHcosθ. Par suite x2 = OH2cos2θ = Rxcos2θ. Et comme x est non nul : x = Rcos2θ.

Mais on sait que x = Rcosθcosφ. Par conséquent : cosθ = cosφ, soit dans [0,π/2] : θ = φ.

Ainsi, l'équation en coordonnées sphériques de notre courbe (restreinte à x et y positifs).

r = R (constant : rayon de la sphère)
θ = φ sur l'intervalle [0,π/2]

et une équation paramétrique sera alors : x = Rcos2θ , y = Rsinθcosθ , z = Rsinθ


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