ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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WHITNEY Hassler, américain, 1907-1989

Éléments biographiques : A first course in graph theory (Google Livres). Portrait : Wolf Foundation.

Hassler Whitney étudia à Harvard (Cambridge USA) où il obtint son doctorat (1932) portant sur la théorie des graphes sous la direction de George Birkhoff ( réf.2). Il fut professeur à Harvard jusqu'en 1952 puis à Princeton au renommé Institute for Advanced Study.

Ses travaux ont principalement porté sur la géométrie différentielle et la géométrie algébrique où il donne une première définition générale du concept d'espace fibré dans un article intitulé Differentiable manifolds (Variétés différentiables) publié en 1936, suivi de Topological properties of differentiable manifolds (1937). Whitney reçut le prix Wolf 1982 pour ses travaux fondamentaux en topologie algébrique, géométrie et topologie différentielles et le prix Steele 1985.

Le concept d'espace fibré  :       

Il s'agit là d'un sujet ardu méritant une rigueur et une précision de langage dont le moindre développement nécessite des prérequis tout autant complexes en géométrie algébrique et différentielle. Il serait donc vain d'en donner une définition dans le cadre de ce site et de ses objectifs. Jean Dieudonné en décrit la genèse dans son History of algebraic and differential topology ( réf.1) :

 

Poenaru

La théorie des singularités :       

Dans ce domaine de la géométrie différentielle, le nom de Whitney est aussi attaché à d'importants résultats sur ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie des singularités, relative aux fonctions définies sur des variétés différentielles, travaux sur lesquels René Thom s'appuiera en partie pour construire sa théorie des catastrophes.

Singularités d'une courbe :                   Singularités d'une surface :  

Parapluie (ou ombrelle) de Whitney (tracé  Geogebra , animation générée par WIMS) :   

Il s'agit d'une surface exhibée par Whitney comme exemple de variété de R3 présentant une singularité au point O(0,0,0) : la surface admet un plan tangent en tout point sauf en O qui est un point-pince (pinch-point) dont tout voisinage s'auto-intersecte. On parle aussi de singularité de Whitney ou de fronce au voisinage de ce point (par opposition à un pli). Le point-pince est à une surface ce que le point de rebroussement est aux courbes planes ou gauches. On pourra consulter l'article Le pli et la fronce d'Etienne Ghys et Jos Leys faisant allusion à ce type de singularité sur le site Images des mathématiques du CNRS ( réf.2).

Cette surface s'interprète en tant que fonction différentiable de R2 dans R3 :

f(u,v) = (u,uv,v2), u et v décrivant l'intervalle [-1,1]            Gauss

La surface admet une auto-intersection tout au long du demi-axe (Oz).

Étant donné une surface S, on dit que S s'auto-intersecte s'il existe une courbe de S traversée au moins deux fois par la surface. On parle d'auto-intersection. Cela signifie en particulier que la fonction f (comme ci-dessus) n'est pas injective. Le terme peut s'appliquer aux courbes du plan ou de l'espace mais on parle plutôt de point double et éventuellement de point triple, quadruple, ..., multiple.

      

Le parapluie de Whitney est une surface réglée dont les génératrices s'appuient sur une parabole : en effet, quitte à échanger les rôles symétriques de u et v afin de coïncider avec la page relative à ce type de surface, on peut écrire son équation sous la forme d'une famille de droites paramétrées :

(u,v)φ(u,v) = (v,uv,u2) = (0,0,u2) + v.(1,u,0) , (u,v) [-1,1]2

Δ(u) = (1,u,0) dirige les génératrices parallèles au plan (xOy) passant par les points (0,0,u2) de (Oz). Dans chaque plan "vertical" d'équation x = v, les génératrices s'appuient sur la parabole y = uv, z = u2, c'est à dire z = y2/v2.

Pour une construction "filaire" de la surface, on peut remarquer que si v = ±1, on a x = ±1 et z = y2. Dans chacun des plans verticaux x = 1 et x = -1, on construit sur une planchette deux arceaux sensiblement paraboliques d'équation z = y2. On dresse un tige T au centre de la planchette représentant le demi-axe (Oz) et on relie chaque parabole par les fils générateurs en nouant autour de T et en restant parallèles à la planchette (xOy). Et plus il y aura de fils, mieux apparaitra le pinch-point !

Pour mieux contempler le pinch-point, on a ici "retourné" et rehaussé l'ombrelle par rapport au plan (xOy) :
f(u,v) = (uv,u,-v2
+1.5), u et v décrivant [-1,1]

Théorème du plongement (Whitney) :   

Dans ce même cadre d'étude, Whitney, prolongeant des travaux de Veblen, revisite la définition des variétés en les émancipant des espaces euclidiens et établit des théorèmes de plongement et d'immersion comme :

Étant données deux variétés X et Y de dimensions finies respectives m et n telles que 2m + 1 ≤  n , alors toute application propre de X dans Y est homotope à un plongement.

Cet important résultat permet d'étudier une variété abstraite de dimension n en tant que plongement dans R2n+1.

Un théorème de Whitney :     

Pour tout fermé F de Rn, il existe une fonction f de classe C de Rn dans R telle que F = f -1(0).

On pourra trouver la preuve de ce théorème dans le sujet de Capes 2006 revisité par Patrice Lassère (univ. P. Sabatier, Toulouse ( réf.3 ci-dessous).


 Pour en savoir plus :

  1. Espaces fibrés :
    a) A History of algebraic and differential topology
    (1900-1960), par Jean Dieudonné, Springer Verlag -1989 :
     https://books.google.fr/books?id=RUV5Dz90rDkC
    b) Espaces fibrés & connexions par Robert Coquereaux (univ. Marseille), Ch. 3 :
    http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/EspacesFibresCoquereaux.pdf
    c) Cours élémentaire de K-théorie (avec une introduction aux fibrés vectoriels), par Valentin Poénaru (Orsay; 1968) :
    http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/P_POENARU-119.pdf
  2. A propos des singularités :
    a) Le pli et la fronce, un article d'Etienne Ghys et Jos Leys sur le site Images des mathématiques du CNRS :
    http://images.math.cnrs.fr/Le-pli-et-la-fronce.html
    b) Singularités, par Yves André (CNRS/Séminaire Mamux) :
    http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch5singul.pdf
    c) Plongements, immersions et singularités : http://www.jp-petit.org/Extensions/bcuspi/bcuspi.htm
  3. CAPES 2006 : M1 - Capes encadré (mars 2011) dont théorème de Whithney, problème corrigé par Patrice Lassère :
    http://www.math.univ-toulouse.fr/~lassere/pdf/2011CAPESdevoirencadré.pdf
  4. Isomorphisme de graphes : une page wikipedia (Fr) exposant un  théorème de Whitney relatif aux graphes adjoints (avec les réserves habituelles) :  https://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme_de_graphes


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